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IAL 2022 Oct Q4

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

g(x)=14−x2\mathrm{g}(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}

(a) Find, in ascending powers of xx, the first four non-zero terms of the binomial expansion of g(x)\mathrm{g}(x). Give each coefficient in simplest form.

(5)

(b) State the range of values of xx for which this expansion is valid.

(1)

(c) Use the expansion from part (a) to find a fully simplified rational approximation for 3\sqrt{3}

Show your working and make your method clear.

(2)
题目中文翻译 g(x)=14−x2\mathrm{g}(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}

(a) 按 xx 的升幂展开，求 g(x)\mathrm{g}(x) 的前四个非零项。将每个系数化为最简形式。

(b) 写出该展开式成立时 xx 的取值范围。

(c) 利用 (a) 中的展开式，求 3\sqrt{3} 的一个完全化简的有理近似值。

请写出过程，并清楚说明你的方法。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先从括号中提出 44，把函数写成 12(1−x24)−1/2\frac12(1-\frac{x^2}{4})^{-1/2}。再对指数 −12-\frac12 使用二项式展开，保留常数项以及 x2,x4,x6x^2,x^4,x^6 三项。

答题过程

展开

First rewrite

g(x)=12(1−x24)−12.\mathrm{g}(x) =\frac12\bigg(1-\frac{x^2}{4}\bigg)^{-\frac12}.

Using

(1+u)n= 1+nu+n(n−1)2!u2 +n(n−1)(n−2)3!u3+⋯ ,\begin{align*} (1+u)^n =&\,1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^2\\ &\,\hspace{2pt} +\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3+\cdots, \end{align*}

with n=−12n=-\frac12 and u=−x24u=-\frac{x^2}{4} gives

g(x)= 12[1+(−12)(−x24) +(−12)(−32)2!(−x24)2 +(−12)(−32)(−52)3!(−x24)3+⋯].\begin{align*} \mathrm{g}(x) =&\,\frac12\bigg[ 1+\bigg(-\frac12\bigg) \bigg(-\frac{x^2}{4}\bigg)\\ &\,\hspace{2pt} +\frac{ (-\frac12)(-\frac32) }{2!} \bigg(-\frac{x^2}{4}\bigg)^2\\ &\,\hspace{4pt} +\frac{ (-\frac12)(-\frac32)(-\frac52) }{3!} \bigg(-\frac{x^2}{4}\bigg)^3 +\cdots \bigg]. \end{align*}

Therefore,

g(x)= 12+116x2 +3256x4+52048x6+⋯ .\begin{align*} \mathrm{g}(x) =&\,\frac12+\frac1{16}x^2\\ &\,\hspace{2pt} +\frac3{256}x^4+\frac5{2048}x^6+\cdots. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

二项式展开要求变量部分的绝对值小于 11。这里变量部分是 −x24-\frac{x^2}{4}，解对应不等式即可。

答题过程

展开

The expansion is valid when

∣−x24∣<1.\bigg|-\frac{x^2}{4}\bigg|<1.

Thus

x2<4,x^2<4,

so the required range is

−2<x<2.\boxed{-2<x<2}.

(c)

解法一

思路

展开

取 x=1x=1，则 g(1)=13\mathrm{g}(1)=\frac1{\sqrt3}，所以 3=3g(1)\sqrt3=3\mathrm{g}(1)。把 x=1x=1 代入 (a) 的截断展开式，再乘以 33，即可得到完全化简的有理近似值。

答题过程

展开

At x=1x=1,

g(1)=13,\mathrm{g}(1)=\frac{1}{\sqrt3},

and hence

3=3g(1).\sqrt3=3\mathrm{g}(1).

Using the first four terms of the expansion,

g(1)≈ 12+116+3256+52048= 11812048.\begin{align*} \mathrm{g}(1) \approx&\,\frac12+\frac1{16} +\frac3{256}+\frac5{2048}\\ =&\,\frac{1181}{2048}. \end{align*}

Therefore,

3≈ 3(11812048)= 35432048.\begin{align*} \sqrt3 \approx&\,3\bigg(\frac{1181}{2048}\bigg)\\ =&\,\boxed{\frac{3543}{2048}}. \end{align*}