题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows a sketch of part of the curve with equation

y=\frac{12\sqrt{x}}{(2x^2+3)^{1.5}}

The region $R$ , shown shaded in Figure 2, is bounded by the curve, the line with equation $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , the $x$ -axis and the line with equation $x=k$ .

This region is rotated through $360^\circ$ about the $x$ -axis to form a solid of revolution.

Given that the volume of this solid is $\dfrac{713}{648}\pi$ , use algebraic integration to find the exact value of the constant $k$ .

(6)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解法不被接受。

图 2 给出了部分曲线的示意图，其方程为

y=\frac{12\sqrt{x}}{(2x^2+3)^{1.5}}

图 2 中阴影区域 $R$ 由该曲线、直线 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 、 $x$ 轴以及直线 $x=k$ 围成。

该区域绕 $x$ 轴旋转 $360^\circ$ ，形成一个旋转体。

已知该旋转体的体积为 $\dfrac{713}{648}\pi$ ，用代数积分法求常数 $k$ 的精确值。

解答

解法一

思路

展开

旋转体绕 $x$ 轴生成，使用圆盘法 $V=\pi\int y^2\,\mathrm{d}x$ 。平方后，被积函数为 $\frac{144x}{(2x^2+3)^3}$ ，分母内部的导数与分子成比例，可以直接积分。代入上下限并与已知体积相等，最后利用图中 $k>0$ 选取正确的根。

答题过程

展开

The volume of the solid of revolution is

V=\pi\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^k y^2\,\mathrm{d}x.

Since

y^2=\frac{144x}{(2x^2+3)^3},

we have

\int\frac{144x}{(2x^2+3)^3}\,\mathrm{d}x =-18(2x^2+3)^{-2}.

Therefore,

\begin{align*} V =&\,\pi\bigg[ -\frac{18}{(2x^2+3)^2} \bigg]_{\frac{1}{\sqrt2}}^k\\ =&\,\pi\bigg( -\frac{18}{(2k^2+3)^2} +\frac{18}{4^2} \bigg)\\ =&\,\pi\bigg( -\frac{18}{(2k^2+3)^2} +\frac98 \bigg). \end{align*}

Using the given volume,

-\frac{18}{(2k^2+3)^2} +\frac98 =\frac{713}{648}.

Since $\frac98=\frac{729}{648}$ ,

\begin{align*} \frac{18}{(2k^2+3)^2} =&\,\frac{16}{648}\\ =&\,\frac{2}{81}. \end{align*}

Hence

(2k^2+3)^2=729.

As $2k^2+3>0$ ,

\begin{align*} 2k^2+3=&\,27,\\ k^2=&\,12. \end{align*}

The diagram shows that $k$ is positive, so

\boxed{k=2\sqrt3}.

IAL 2022 Oct Q5

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解答

解法一

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