题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows a sketch of part of the curve with equation

y=\frac{12\sqrt{x}}{(2x^2+3)^{1.5}}

The region $R$ , shown shaded in Figure 2, is bounded by the curve, the line with equation $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , the $x$ -axis and the line with equation $x=k$ .

This region is rotated through $360^\circ$ about the $x$ -axis to form a solid of revolution.

Given that the volume of this solid is $\dfrac{713}{648}\pi$ , use algebraic integration to find the exact value of the constant $k$ .

(6)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解法不被接受。

图 2 给出了部分曲线的示意图，其方程为

y=\frac{12\sqrt{x}}{(2x^2+3)^{1.5}}

图 2 中阴影区域 $R$ 由该曲线、直线 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 、 $x$ 轴以及直线 $x=k$ 围成。

该区域绕 $x$ 轴旋转 $360^\circ$ ，形成一个旋转体。

已知该旋转体的体积为 $\dfrac{713}{648}\pi$ ，用代数积分法求常数 $k$ 的精确值。

(6)

解答

解法一

思路

展开

旋转体绕 $x$ 轴生成，使用圆盘法 $V=\pi\int y^2\,\mathrm{d}x$ 。平方后，被积函数为 $\frac{144x}{(2x^2+3)^3}$ ，分母内部的导数与分子成比例，可以直接积分。代入上下限并与已知体积相等，最后利用图中 $k>0$ 选取正确的根。

答题过程

展开

The volume of the solid of revolution is

V=\pi\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^k y^2\,\mathrm{d}x.

Since

y^2=\frac{144x}{(2x^2+3)^3},

we have

\begin{align*} &\int\frac{144x}{(2x^2+3)^3}\,\mathrm{d}x\\ &=-18(2x^2+3)^{-2}+C. \end{align*}

Let

F(x)=-\frac{18}{(2x^2+3)^2}.

Then

\begin{align*} \frac{V}{\pi} &=F(k)-F\bigg(\frac{1}{\sqrt2}\bigg)\\ &=-\frac{18}{(2k^2+3)^2}+\frac{18}{4^2}\\ &=-\frac{18}{(2k^2+3)^2}+\frac98. \end{align*}

Using the given volume,

-\frac{18}{(2k^2+3)^2} +\frac98 =\frac{713}{648}.

Since $\frac98=\frac{729}{648}$ ,

\begin{align*} \frac{18}{(2k^2+3)^2} =&\,\frac{16}{648}\\ =&\,\frac{2}{81}. \end{align*}

Hence

(2k^2+3)^2=729.

As $2k^2+3>0$ ,

\begin{align*} 2k^2+3=&\,27,\\ k^2=&\,12. \end{align*}

The diagram shows that $k$ is positive, so

\boxed{k=2\sqrt3}.

解法二：换元积分

思路

展开

令 $u=2x^2+3$ ，则 $\mathrm{d}u=4x\,\mathrm{d}x$ ，被积函数可化为 $36u^{-3}$ 。定积分上下限也随之改为 $4$ 和 $2k^2+3$ 。积分后与已知体积比较，求出 $k$ ；求根时也可以先展开，再把关于 $k^2$ 的二次式因式分解。

答题过程

展开

The volume is

V=\pi\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^k \frac{144x}{(2x^2+3)^3}\,\mathrm{d}x.

Put $u=2x^2+3$ . Then

\begin{align*} \mathrm{d}u&=4x\,\mathrm{d}x,\\ 144x\,\mathrm{d}x&=36\,\mathrm{d}u. \end{align*}

When $x=\frac{1}{\sqrt2}$ , $u=4$ ; when $x=k$ , $u=2k^2+3$ . Therefore,

\begin{align*} \frac{V}{\pi} &=36\int_4^{2k^2+3}u^{-3}\,\mathrm{d}u\\ &=\big[-18u^{-2}\big]_4^{2k^2+3}\\ &=\frac98-\frac{18}{(2k^2+3)^2}. \end{align*}

Using $V=\frac{713}{648}\pi$ ,

\begin{align*} \frac{18}{(2k^2+3)^2} &=\frac98-\frac{713}{648}\\ &=\frac{2}{81}. \end{align*}

Hence $(2k^2+3)^2=729$ . Since $2k^2+3$ is positive,

\begin{align*} 2k^2+3&=27,\\ k^2&=12. \end{align*}

Taking the positive root shown in the diagram gives

\boxed{k=2\sqrt3}.

Alternatively, expand the squared equation before solving:

\begin{align*} 4k^4+12k^2+9&=729,\\ k^4+3k^2-180&=0,\\ (k^2-12)(k^2+15)&=0. \end{align*}

For real $k$ , $k^2+15>0$ , so $k^2=12$ and again $k=2\sqrt3$ .

P4 2022 Oct Q5

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二：换元积分

思路

答题过程