图 3 给出了曲线 $C$ 的示意图，其参数方程为

如图 3 所示，曲线与 $x$ 轴交于点 $P$。

(a) 求曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程，并将答案写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m,c$ 为待求常数。

曲线 $C$ 的方程可写为 $y=\mathrm{f}(x)$，其中函数 $\mathrm{f}$ 的定义域为 $\left[k,1+3\sqrt{3}\right]$。

(b) 求常数 $k$ 的精确值。

(c) 求 $\mathrm{f}$ 的值域。

点 $P$ 在 $x$ 轴上，所以先在给定参数范围内解 $y=2\cos2t=0$，求出对应的 $t$ 和坐标。然后分别对 $x,y$ 关于 $t$ 求导，计算 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 在 $P$ 处的值，并用点斜式写切线。

At $P$, $y=0$, so

Within

the solution is

Therefore,

so $P=(4,0)$.

Differentiating the parametric equations,

and

Hence

At $t=\frac{\pi}{4}$,

The equation of the tangent at $P$ is therefore

在给定区间内，$\tan t$ 严格递增，所以 $x=1+3\tan t$ 的最小值出现在左端点 $t=-\frac{\pi}{6}$。把该端点代入即可得到定义域下界 $k$。

Since $\tan t$ is increasing on the given interval, the minimum value of $x$ occurs when

Thus

Therefore,

由 $y=2\cos2t$，把参数区间加倍后得到 $-\frac{\pi}{3}\leq2t\leq\frac{2\pi}{3}$。余弦在该区间内的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac12$，再乘以 $2$ 即得值域。

From

we have

On this interval,

Since $y=2\cos2t$,

Therefore, the range of $\mathrm{f}$ is