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P4 2022 Oct Q6

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

Figure 3 shows a sketch of the curve CC with parametric equations

x=1+3tan⁡t,y=2cos⁡2t,−π6≤t≤π3.\begin{align*} x&=1+3\tan t,\\ y&=2\cos 2t,\\ -\frac{\pi}{6}&\le t\le \frac{\pi}{3}. \end{align*}

The curve crosses the xx-axis at point PP, as shown in Figure 3.

(a) Find the equation of the tangent to CC at PP, writing your answer in the form y=mx+cy=mx+c, where mm and cc are constants to be found.

(5)

The curve CC has equation y=f(x)y=\mathrm{f}(x), where f\mathrm{f} is a function with domain [k,1+33]\big[k,1+3\sqrt{3}\big]

(b) Find the exact value of the constant kk.

(1)

(c) Find the range of f\mathrm{f}.

(2)
题目中文翻译

图 3 给出了曲线 CC 的示意图，其参数方程为

x=1+3tan⁡t,y=2cos⁡2t,−π6≤t≤π3.\begin{align*} x&=1+3\tan t,\\ y&=2\cos 2t,\\ -\frac{\pi}{6}&\le t\le \frac{\pi}{3}. \end{align*}

如图 3 所示，曲线与 xx 轴交于点 PP。

(a) 求曲线 CC 在点 PP 处的切线方程，并将答案写成 y=mx+cy=mx+c 的形式，其中 m,cm,c 为待求常数。

(5)

曲线 CC 的方程可写为 y=f(x)y=\mathrm{f}(x)，其中函数 f\mathrm{f} 的定义域为 [k,1+33]\big[k,1+3\sqrt{3}\big]。

(b) 求常数 kk 的精确值。

(1)

(c) 求 f\mathrm{f} 的值域。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 PP 在 xx 轴上，所以先在给定参数范围内解 y=2cos⁡2t=0y=2\cos2t=0，求出对应的 tt 和坐标。然后分别对 x,yx,y 关于 tt 求导，计算 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 在 PP 处的值，并用点斜式写切线。也可以先求两项导数在 PP 处的数值，再将它们相除。

答题过程

展开

At PP, y=0y=0, so

2cos⁡2t=0.2\cos2t=0.

Within

−π6≤t≤π3,-\frac{\pi}{6}\leq t\leq\frac{\pi}{3},

the solution is

t=π4.t=\frac{\pi}{4}.

Therefore,

x=1+3tan⁡π4=4,\begin{align*} x&=1+3\tan\frac{\pi}{4}\\ &=4, \end{align*}

so P=(4,0)P=(4,0).

Differentiating the parametric equations,

dxdt=3sec⁡2t\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =3\sec^2t

and

dydt=−4sin⁡2t.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =-4\sin2t.

Hence

dydx=−4sin⁡2t3sec⁡2t.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{-4\sin2t}{3\sec^2t}.

At t=π4t=\frac{\pi}{4},

dydx=−43(2)=−23.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=\frac{-4}{3(2)}\\ &=-\frac23. \end{align*}

The equation of the tangent at PP is therefore

y−0= −23(x−4),y= −23x+83.\begin{align*} y-0=&\,-\frac23(x-4),\\ y=&\,\boxed{-\frac23x+\frac83}. \end{align*}

The gradient can also be found by evaluating the two derivatives first. At t=π4t=\frac{\pi}{4},

dxdt=3sec⁡2π4=6,dydt=−4sin⁡π2=−4.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &=3\sec^2\frac{\pi}{4}=6,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &=-4\sin\frac{\pi}{2}=-4. \end{align*}

Dividing gives the same tangent gradient:

dydx=−46=−23.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{-4}{6}=-\frac23.

(b)

解法一

思路

展开

在给定区间内，tan⁡t\tan t 严格递增，所以 x=1+3tan⁡tx=1+3\tan t 的最小值出现在左端点 t=−π6t=-\frac{\pi}{6}。把该端点代入即可得到定义域下界 kk。

答题过程

展开

Since tan⁡t\tan t is increasing on the given interval, the minimum value of xx occurs when

t=−π6.t=-\frac{\pi}{6}.

Thus

k= 1+3tan⁡(−π6)= 1−3.\begin{align*} k =&\,1+3\tan\bigg(-\frac{\pi}{6}\bigg)\\ =&\,1-\sqrt3. \end{align*}

Therefore,

k=1−3.\boxed{k=1-\sqrt3}.

(c)

解法一

思路

展开

由 y=2cos⁡2ty=2\cos2t，把参数区间加倍后得到 −π3≤2t≤2π3-\frac{\pi}{3}\leq2t\leq\frac{2\pi}{3}。余弦在该区间内的最大值为 11，最小值为 −12-\frac12，再乘以 22 即得值域。

答题过程

展开

From

−π6≤t≤π3,-\frac{\pi}{6}\leq t\leq\frac{\pi}{3},

we have

−π3≤2t≤2π3.-\frac{\pi}{3}\leq2t\leq\frac{2\pi}{3}.

On this interval,

−12≤cos⁡2t≤1.-\frac12\leq\cos2t\leq1.

The maximum occurs at t=0t=0 and the minimum at t=π3t=\frac{\pi}{3}.

Since y=2cos⁡2ty=2\cos2t,

−1≤y≤2.-1\leq y\leq2.

Therefore, the range of f\mathrm{f} is

[−1,2].\boxed{[-1,2]}.