题目

Problem

\mathrm{f}(x)=\frac{5x+10}{(1-x)(2+3x)}

(a) Write $\mathrm{f}(x)$ in partial fraction form.

(3)

(b) (i) Hence find, in ascending powers of $x$ up to and including the terms in $x^2$ , the binomial series expansion of $\mathrm{f}(x)$ . Give each coefficient as a simplified fraction.

(5)

(ii) Find the range of values of $x$ for which this expansion is valid.

(1)

题目中文翻译

\mathrm{f}(x)=\frac{5x+10}{(1-x)(2+3x)}

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 写成部分分式形式。

(3)

(b) (i) 进而求 $\mathrm{f}(x)$ 的二项级数展开式，按 $x$ 的升幂排列，保留到并包括 $x^2$ 项。将每个系数写成最简分数。

(5)

(ii) 求该展开式成立时 $x$ 的取值范围。

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

设两个部分分式分别为 $\frac{A}{1-x}$ 和 $\frac{B}{2+3x}$ 。通分后分别代入使两个一次因式为零的 $x$ 值，可以快速求出 $A$ 和 $B$ 。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} \mathrm{f}(x)=&\,\frac{A}{1-x}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{B}{2+3x}. \end{align*}

Multiplying through gives the identity

\begin{align*} 5x+10\equiv&\,A(2+3x)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+B(1-x). \end{align*}

Setting $x=1$ gives $15=5A$ , so $A=3$ .

Setting $x=-\frac23$ and multiplying by $3$ gives $20=5B$ , so $B=4$ .

Therefore,

\begin{align*} \mathrm{f}(x)=&\,\frac{3}{1-x}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{4}{2+3x}. \end{align*}

也可以比较 $x$ 的系数和常数项：

\begin{align*} 3A-B=&\,5,\\ 2A+B=&\,10. \end{align*}

两式相加得 $5A=15$ ，于是 $A=3$ 、 $B=4$ 。

(b)(i)

解法一

思路

展开

承接 (a)，分别展开两个部分分式。第一项使用 $(1-x)^{-1}$ ；第二项先从分母提出 $2$ ，再展开 $\big(1+\frac{3x}{2}\big)^{-1}$ 。保留到 $x^2$ 后合并，注意一次项正好抵消。这是最直接满足题目“进而”要求的主法。

答题过程

展开

From part (a), let

U=3(1-x)^{-1}

and

V=2\bigg(1+\frac{3x}{2}\bigg)^{-1}.

Then $\mathrm{f}(x)=U+V$ . Using

\begin{align*} (1+u)^{-1}=&\,1-u\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+u^2+\cdots, \end{align*}

we obtain

U=3+3x+3x^2+\cdots

and

V=2-3x+\frac92x^2+\cdots.

Adding the coefficients gives the constant term $3+2=5$ , the coefficient of $x$ as $3-3=0$ , and

\begin{align*} \text{coefficient of }x^2=&\,3+\frac92\\[4mm] =&\,\frac{15}{2}. \end{align*}

Hence

\boxed{\mathrm{f}(x)=5+\frac{15}{2}x^2+\cdots}.

第二项也可以不先提出 $2$ ，而直接对 $(2+3x)^{-1}$ 使用二项展开。其常数项为 $\frac12$ ，一次项为 $(-1)2^{-2}(3x)=-\frac34x$ ，二次项为

\begin{align*} &\,\frac{(-1)(-2)}{2}\,2^{-3}(3x)^2\\[4mm] =&\,\frac98x^2. \end{align*}

再乘以 $4$ ，仍得 $V=2-3x+\frac92x^2+\cdots$ 。这是同一部分分式展开的写法变形。

解法二

思路

展开

分别展开原分母中两个因子的倒数，相乘后再乘分子。这一方法直接使用原分母，不需要 (a) 的部分分式结果。相乘时只收集常数项、 $x$ 项和 $x^2$ 项，避免漏掉交叉项。

答题过程

展开

Let

U=(1-x)^{-1},

V=(2+3x)^{-1},

so $\mathrm{f}(x)=(10+5x)UV$ .

The binomial expansions are

U=1+x+x^2+\cdots

and, using $V=\frac12\big(1+\frac{3x}{2}\big)^{-1}$ ,

\begin{align*} V=&\,\frac12\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-\frac34x\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+\frac98x^2+\cdots. \end{align*}

Write $W=UV$ . Its constant term is $\frac12$ . The coefficient of $x$ is

\begin{align*} &\,\frac{2-3}{4}\\[4mm] =&\,-\frac14, \end{align*}

and the coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} &\,\frac{4-6+9}{8}\\[4mm] =&\,\frac78. \end{align*}

Here the three contributions to the quadratic coefficient come from $x^2\times\frac12$ , $x\times(-\frac34x)$ and $1\times\frac98x^2$ . Thus

\begin{align*} W=&\,\frac12\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-\frac14x\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+\frac78x^2+\cdots. \end{align*}

Since $\mathrm{f}(x)=10W+5xW$ , its constant term is $5$ . Its coefficient of $x$ is $\frac{-10+10}{4}=0$ , and its coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} &\,\frac{70-10}{8}\\[4mm] =&\,\frac{15}{2}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{\mathrm{f}(x)=5+\frac{15}{2}x^2+\cdots}.

解法三

思路

展开

先把分母合并成 $2+x-3x^2$ ，提出 $2$ 后使用 $(1+u)^{-1}$ 的二项展开，其中 $u=\frac{x-3x^2}{2}$ 。只保留到 $x^2$ 时， $u^2$ 只需保留 $\frac14x^2$ 。

答题过程

展开

First,

\begin{align*} &\,(1-x)(2+3x)\\[4mm] =&\,2+x-3x^2. \end{align*}

Let

u=\frac{x-3x^2}{2}

and $H=(1+u)^{-1}$ . Then

\mathrm{f}(x)=\bigg(5+\frac52x\bigg)H.

Using

H=1-u+u^2+\cdots

and retaining terms only up to $x^2$ ,

u^2=\frac14x^2+\cdots.

The linear coefficient of $H$ is $-\frac12$ . The quadratic coefficient is $\frac32+\frac14=\frac74$ . Therefore,

\begin{align*} H=&\,1-\frac12x\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac74x^2+\cdots. \end{align*}

Multiplying $H$ by $5+\frac52x$ , the constant term is $5$ , the coefficient of $x$ is $\frac{-5+5}{2}=0$ , and the coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} &\,\frac{35-5}{4}\\[4mm] =&\,\frac{15}{2}. \end{align*}

Hence

\boxed{\mathrm{f}(x)=5+\frac{15}{2}x^2+\cdots}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

从部分分式的两个二项展开分别写出有效条件，再取交集。第二个条件较严格，最终只写两者同时成立的范围。

答题过程

展开

The expansion of $(1-x)^{-1}$ requires

|x|<1.

The expansion of $\big(1+\frac{3x}{2}\big)^{-1}$ requires

\bigg|\frac{3x}{2}\bigg|<1,

|x|<\frac23.

Both conditions must hold. Hence the required range is

\boxed{-\frac23<x<\frac23}.

P4 2023 Jan Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程