题目

Problem

A set of points $P(x,y)$ is defined by the parametric equations

x=\frac{t-1}{2t+1}\qquad y=\frac{6}{2t+1}\qquad t\ne -\frac{1}{2}

(a) Show that all points $P(x,y)$ lie on a straight line.

(4)

(b) Hence or otherwise, find the $x$ coordinate of the point of intersection of this line and the line with equation $y=x+12$

(2)

题目中文翻译

点集 $P(x,y)$ 由下列参数方程给出：

x=\frac{t-1}{2t+1}\qquad y=\frac{6}{2t+1}\qquad t\ne -\frac{1}{2}

(a) 证明所有点 $P(x,y)$ 都在同一条直线上。

(b) 进而或用其他方法，求该直线与方程 $y=x+12$ 所表示直线的交点的 $x$ 坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接利用 $y=\frac{6}{2t+1}$ 表示 $\frac{1}{2t+1}$ ，再把 $x$ 的分子改写成分母的线性组合。这样可以立即消去参数 $t$ ，得到 $x,y$ 满足的一次方程。

答题过程

展开

Rewrite

t-1=\frac12(2t+1)-\frac32.

Then

\begin{align*} x =&\,\frac{t-1}{2t+1}\\ =&\,\frac12-\frac{3}{2(2t+1)}. \end{align*}

Since

y=\frac{6}{2t+1},

we have

\frac{3}{2(2t+1)}=\frac{y}{4}.

Therefore,

\begin{align*} x=&\,\frac12-\frac{y}{4},\\ 4x+y=&\,2. \end{align*}

This is a linear equation, so all points $P(x,y)$ lie on the straight line

\boxed{4x+y=2}.

解法二

思路

展开

这是官方评分资料接受的另一条路线。分别对两个参数方程求导；若 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 为常数，就说明轨迹的斜率处处相同，因此轨迹位于一条直线上。

答题过程

展开

Differentiating with respect to $t$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{ (2t+1)-2(t-1) }{(2t+1)^2}\\ =&\,\frac{3}{(2t+1)^2} \end{align*}

and

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =-\frac{12}{(2t+1)^2}.

Hence

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \div\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ =&\,-4. \end{align*}

The gradient is constant, so the locus is a straight line.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，联立轨迹直线 $4x+y=2$ 与给出的直线 $y=x+12$ ，消去 $y$ 即可求交点的 $x$ 坐标。

答题过程

展开

At the point of intersection,

4x+(x+12)=2.

Therefore,

\begin{align*} 5x=&\,-10,\\ x=&\,\boxed{-2}. \end{align*}

IAL 2023 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程