点集 $P(x,y)$ 由下列参数方程给出：

(a) 证明所有点 $P(x,y)$ 都在同一条直线上。

(b) 进而或用其他方法，求该直线与方程 $y=x+12$ 所表示直线的交点的 $x$ 坐标。

把 $x$ 的分子改写成分母的线性组合，再用 $y$ 消去共同分母 $2t+1$。所得 $x,y$ 关系为一次方程，因此所有点都在同一条直线上。

Rewrite

Then

Since $y=\frac{6}{2t+1}$, we have

Therefore,

This is a linear equation, so all points $P(x,y)$ lie on the straight line

分别对两个参数方程求导，再求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。斜率为常数，因而轨迹为直线。

Differentiating with respect to $t$, let

and

The quotient rule gives

and

Hence

The gradient is constant, so all points $P(x,y)$ lie on a straight line.

先从 $x$ 的参数式解出 $t$，再代入 $y$ 的参数式。也可以反过来先用 $y$ 表示 $t$，两种写法使用同一个消参数思路。

From

we obtain

so

Using $(1-2x)t=x+1$,

Also, $y(2t+1)=6$. Multiplying this equation by $1-2x$ gives

Therefore,

This is a linear equation, so all points $P(x,y)$ lie on the line

反过来，从 $y$ 的参数式也可得

于是

代入 $x=\frac{t-1}{2t+1}$，约去共同分母后得

同样得到 $4x+y=2$，故点集位于直线上。

构造 $ax+by$，让合并后的分子成为分母的常数倍，便能消去 $t$。比较系数可找出 $a:b=4:1$；这样便能通过线性组合消去参数。

For constants $a$ and $b$,

To make this equal to a constant $k$, require

Comparing coefficients gives

Hence $6b=3k$, so $a=4b$.

Choose $a=4$, $b=1$ and $k=2$. Then

Thus all points $P(x,y)$ lie on the straight line

若直接看出线性组合，也可写成

再说明这是一次方程即可。

承接 (a)，联立轨迹直线 $4x+y=2$ 与 $y=x+12$，消去 $y$ 即可求交点的 $x$ 坐标。

From part (a), the line has equation $4x+y=2$. At its intersection with $y=x+12$,

Therefore,

题目允许“或用其他方法”，所以也可把参数式直接代入 $y=x+12$。先求交点对应的 $t$，再代回 $x$。

Substitute the parametric expressions into $y=x+12$:

Since $2t+1\ne0$, multiplying through gives

Hence

At this value of $t$,

Substituting into $x=\frac{t-1}{2t+1}$ and cancelling the common factor $\frac15$ gives