题目

Problem

(a) Using the substitution $u=\sqrt{2x+1}$ , show that

\int_4^{12}\sqrt{8x+4}\,e^{\sqrt{2x+1}}\,dx

may be expressed in the form

\int_a^b ku^2e^u\,du

where $a$ , $b$ and $k$ are constants to be found.

(4)

(b) Hence find, by algebraic integration, the exact value of

\int_4^{12}\sqrt{8x+4}\,e^{\sqrt{2x+1}}\,dx

giving your answer in simplest form.

(5)

题目中文翻译

(a) 令 $u=\sqrt{2x+1}$ ，证明

\int_4^{12}\sqrt{8x+4}\,e^{\sqrt{2x+1}}\,dx

可写成

\int_a^b ku^2e^u\,du

的形式，其中 $a,b,k$ 为待求常数。

(b) 进而用代数积分法求

\int_4^{12}\sqrt{8x+4}\,e^{\sqrt{2x+1}}\,dx

的精确值，并将答案化为最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由 $u=\sqrt{2x+1}$ 得到 $u^2=2x+1$ 和 $\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}u$ 。同时 $\sqrt{8x+4}=2u$ ，指数部分变成 $e^u$ 。再把原积分的上下限一并换成 $u$ 的取值，即可得到指定形式。

答题过程

展开

Let

u=\sqrt{2x+1}.

Then

u^2=2x+1

and

2u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2,

\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}u.

Also,

\sqrt{8x+4} =\sqrt{4(2x+1)} =2u.

The limits become

x=4\Longrightarrow u=3

and

x=12\Longrightarrow u=5.

Therefore,

\begin{align*} &\,\int_4^{12} \sqrt{8x+4}\,e^{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\int_3^5 (2u)e^u(u\,\mathrm{d}u)\\ =&\,\int_3^5 2u^2e^u\,\mathrm{d}u. \end{align*}

Thus the required constants are

\boxed{a=3,\qquad b=5,\qquad k=2}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，只需计算 $\int_3^5 2u^2e^u\,\mathrm{d}u$ 。连续使用两次分部积分，把 $u^2$ 逐次降幂，得到完整原函数后再代入上下限。

答题过程

展开

From part (a),

I=\int_3^5 2u^2e^u\,\mathrm{d}u.

Using integration by parts,

\begin{align*} \int 2u^2e^u\,\mathrm{d}u =&\,2u^2e^u-\int4ue^u\,\mathrm{d}u\\ =&\,2u^2e^u -4\bigg(ue^u-\int e^u\,\mathrm{d}u\bigg)\\ =&\,2u^2e^u-4ue^u+4e^u. \end{align*}

Hence

\begin{align*} I =&\,\big[2u^2e^u-4ue^u+4e^u\big]_3^5\\ =&\,\big(50e^5-20e^5+4e^5\big)\\ &\,\hspace{2pt} -\big(18e^3-12e^3+4e^3\big)\\ =&\,34e^5-10e^3. \end{align*}

Therefore, the exact value is

\boxed{34e^5-10e^3}.

IAL 2023 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程