图 2 给出了曲线的示意图，其方程为

(a) 用 $x,y$ 表示以下导数：

如图 2 所示，当 $x$ 取区间 $(p,q)$ 内的值时，曲线无定义。

(b) 利用 (a) 的结果或用其他方法，求 $p$ 和 $q$ 的值。

（完全依赖计算器技术的解法不被接受。）

对曲线方程隐式求导。用 $g$ 暂记 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，避免在同一行重复写长导数符号；所有含 $y$ 的项都要乘上 $g$，再移项提取公因式。

Let

Differentiating the curve equation implicitly with respect to $x$ gives

Rearranging,

Therefore,

由图形可知，无定义区间的端点是两支曲线的竖直切线位置。在这些位置，上一问导数的分母为零。先求出 $y$，再代回原曲线方程求两个 $x$ 值，并按 $p<q$ 对应端点。

At the endpoints of the interval the curve has vertical tangents. Using part (a), the denominator of the derivative is zero:

so $y=5$.

Substituting into the curve equation gives

Hence

Thus $x=-5$ or $x=-\frac52$. Since $p<q$,

也可以用曲线关于 $y=5$ 的对称性先确定端点的纵坐标，因为

左边关于 $y=5$ 对称，图中的两个最靠内侧点位于这条对称轴上。 令 $x=0$ 时，$y(y-10)=0$ 得到 $y$ 轴截距 $0,10$，其中点也对应 $y=5$。 再把 $y=5$ 代入，沿上面的二次方程求解即可。

把曲线方程整理成关于 $y$ 的二次方程。对于给定的 $x$，存在实数 $y$ 的条件是判别式不小于零；因此判别式为负的范围就是曲线无定义的区间。

Rearrange the curve equation as a quadratic in $y$:

Let $c=-(2x^2+15x)$. Its discriminant is

The curve is not defined when $\Delta<0$, so

The critical values are $-5$ and $-\frac52$. The product is negative between these values, so the interval is

Therefore,

可以从两个 $x$ 轴截距出发，利用双曲线的对称性求端点。先通过配方找到中心，再比较顶点和截距到中心的水平距离，不能仅凭“对称”猜出三分之一、三分之二。

First set $y=0$. Then

The $x$-axis intercepts are therefore $x=0$ and $x=-\frac{15}{2}$.

To locate the centre and vertices, let

Completing the squares gives

and

Hence the curve equation becomes

The centre is at $(-\frac{15}{4},5)$. Since

the smallest possible $|X|$ occurs when $Y=0$. The two vertices satisfy

so $X=\pm\frac54$. Their $x$ coordinates are

and

There are no real points between these vertices because there $2X^2-\frac{25}{8}<0$, which cannot equal $Y^2$. Thus

两个 $x$ 轴截距到中心的水平距离都是 $\frac{15}{4}$， 而两个顶点到中心的水平距离都是 $\frac54$，后者是前者的三分之一。 因此以 $x$ 坐标衡量，从 $x=0$ 向 $x=-\frac{15}{2}$ 沿截距间的线段， 两个顶点在 $x$ 轴上的投影 $q$、$p$ 分别位于全长的三分之一、三分之二处。 这说明了上述对称性方法中距离比例的由来。