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P4 2023 Jan Q6

A Level / Edexcel / P4

IAL 2023 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

Relative to a fixed origin OO.

  • the point AA has position vector 2i−3j+5k2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}
  • the point BB has position vector 8i+3j−7k8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}

The line ll passes through AA and BB.

(a) (i) Find AB→\overrightarrow{AB}

(ii) Find a vector equation for the line ll

(3)

The point CC has position vector 3i+5j+2k3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}

The point PP lies on ll

Given that CP→\overrightarrow{CP} is perpendicular to ll

(b) find the position vector of the point PP

(5)
题目中文翻译

相对于固定原点 OO：

  • 点 AA 的位置向量为 2i−3j+5k2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}
  • 点 BB 的位置向量为 8i+3j−7k8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}

直线 ll 经过 AA 和 BB。

(a) (i) 求 AB→\overrightarrow{AB}

(ii) 求直线 ll 的一个向量方程。

(3)

点 CC 的位置向量为 3i+5j+2k3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}。

点 PP 在 ll 上。

已知 CP→\overrightarrow{CP} 垂直于 ll，

(b) 求点 PP 的位置向量。

(5)

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

用终点的位置向量减去起点的位置向量，逐个分量相减。基底 i,j,k\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} 是向量单位基底，保留粗体记号。

答题过程

展开

Using AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}, the components are

Δx= 8−2=6,Δy= 3−(−3)=6,Δz= −7−5=−12.\begin{align*} \Delta x=&\,8-2=6,\\ \Delta y=&\,3-(-3)=6,\\ \Delta z=&\,-7-5=-12. \end{align*}

Therefore,

 AB→= 6i+6j−12k.\begin{align*} &\,\overrightarrow{AB}\\ =&\,\boxed{6\mathbf{i}+6\mathbf{j}-12\mathbf{k}}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

直线经过 AA，方向向量可取 AB→\overrightarrow{AB} 的任意非零倍数。取较简洁的方向 (1,1,−2)(1,1,-2)。改用 BB 作基点或不约去公因数 66 只改变参数写法，不是另一条解题路线。

答题过程

展开

A direction vector of ll is

d=(11−2).\mathbf{d}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}.

Since ll passes through AA, a vector equation is

r= (2−35) +λ(11−2),\begin{align*} \mathbf{r}=&\, \begin{pmatrix} 2\\-3\\5 \end{pmatrix}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\lambda \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}, \end{align*}

where λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.

也可以不约去方向向量的公因数，或改用 BB 作基点，例如

r=OA→+μAB→\mathbf{r}=\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{AB}

或

r=OB→+μAB→,\mathbf{r}=\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{AB},

其中 μ∈R\mu\in\mathbb{R}。OA→\overrightarrow{OA}、OB→\overrightarrow{OB} 已由题目给出， AB→\overrightarrow{AB} 已在 (i) 求出；这些都是同一条直线的参数化。

(b)

解法一

思路

展开

用参数表示直线上的点 PP，再计算 CP→\overrightarrow{CP} 的各分量。垂直条件给出 CP→\overrightarrow{CP} 与方向向量 d\mathbf{d} 的点积为零，由此求参数并代回点 PP。

答题过程

展开

For a point PP on ll,

OP→=(2+λ−3+λ5−2λ).\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} 2+\lambda\\-3+\lambda\\5-2\lambda \end{pmatrix}.

Subtract the components of OC→\overrightarrow{OC}:

(2+λ)−3= λ−1,(−3+λ)−5= λ−8,(5−2λ)−2= 3−2λ.\begin{align*} (2+\lambda)-3=&\,\lambda-1,\\ (-3+\lambda)-5=&\,\lambda-8,\\ (5-2\lambda)-2=&\,3-2\lambda. \end{align*}

Thus

CP→=(λ−1λ−83−2λ).\overrightarrow{CP}= \begin{pmatrix} \lambda-1\\\lambda-8\\3-2\lambda \end{pmatrix}.

Since CP→\overrightarrow{CP} is perpendicular to ll,

CP→⋅d=0.\overrightarrow{CP}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{d}=0.

Using d=(1,1,−2)\mathbf{d}=(1,1,-2),

0= (λ−1)+(λ−8) −2(3−2λ)= 6λ−15.\begin{align*} 0=&\,(\lambda-1)+(\lambda-8)\\ &\,\hspace{2pt}-2(3-2\lambda)\\ =&\,6\lambda-15. \end{align*}

Hence

λ=52.\lambda=\frac52.

Substituting into the coordinates of PP,

xP= 2+52= 92,\begin{align*} x_P=&\,2+\frac52\\[4mm] =&\,\frac92, \end{align*} yP= −3+52= −12,\begin{align*} y_P=&\,-3+\frac52\\[4mm] =&\,-\frac12, \end{align*} zP=5−5=0.z_P=5-5=0.

Therefore,

OP→=(92−120).\boxed{\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} \frac92\\[2mm]-\frac12\\[2mm]0 \end{pmatrix}}.

Equivalently, the position vector is 92i−12j\frac92\mathbf{i}-\frac12\mathbf{j}.

解法二

思路

展开

从点 CC 到直线的垂线段给出最短距离。也可以通过配方或微分求 CPCP 的最小值；最小化 CP2CP^2 更简洁。先求其关于 λ\lambda 的二次式，配方确定最小值处的参数，再代回 PP。

答题过程

展开

The perpendicular from CC to ll gives the shortest distance. It is therefore enough to minimise CP2CP^2.

From the coordinates of PP and CC, let

F(λ)=CP2= (λ−1)2 +(λ−8)2 +(3−2λ)2.\begin{align*} &F(\lambda)=CP^2\\ =&\,(\lambda-1)^2\\ &\,\hspace{2pt}+(\lambda-8)^2\\ &\,\hspace{4pt}+(3-2\lambda)^2. \end{align*}

Expanding and collecting terms,

F(λ)=6λ2−30λ+74.F(\lambda)=6\lambda^2-30\lambda+74.

Completing the square,

F(λ)= 6(λ−52)2 +732.\begin{align*} F(\lambda)=&\,6\bigg(\lambda-\frac52\bigg)^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{73}{2}. \end{align*}

The square is non-negative, so the minimum occurs at

λ=52.\lambda=\frac52.

At this value, the coordinates on ll are

xP= 2+52= 92,\begin{align*} x_P=&\,2+\frac52\\[4mm] =&\,\frac92, \end{align*} yP= −3+52= −12,\begin{align*} y_P=&\,-3+\frac52\\[4mm] =&\,-\frac12, \end{align*} zP=5−5=0.z_P=5-5=0.

Hence

OP→=(92−120).\boxed{\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} \frac92\\[2mm]-\frac12\\[2mm]0 \end{pmatrix}}.

同一最短距离路线也可用微分求最小值：

F′(λ)=12λ−30.F'(\lambda)=12\lambda-30.

令 F′(λ)=0F'(\lambda)=0，得 λ=52\lambda=\frac52；又有 F′′(λ)=12>0F''(\lambda)=12>0， 所以此处确为最小值，再代回直线方程得到同一个 PP。