题目

Problem

The volume $V$ cm $^3$ of a spherical balloon with radius $r$ cm is given by the formula

V=\frac{4}{3}\pi r^3

(a) Find

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}

giving your answer in simplest form.

(1)

At time $t$ seconds, the volume of the balloon is increasing according to the differential equation

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=&\,\frac{900}{(2t+3)^2},\\[4mm] &t\ge 0. \end{align*}

Given that $V=0$ when $t=0$

(b) (i) solve this differential equation to show that

V=\frac{300t}{2t+3}

(ii) Hence find the upper limit to the volume of the balloon.

(5)

(3)

(d) Find the rate of increase of the radius of the balloon at $t=3$ , giving your answer to 2 significant figures. Show your working and state the units of your answer.

(3)

题目中文翻译

半径为 $r$ cm 的球形气球，其体积 $V$ cm $^3$ 由下式给出：

V=\frac{4}{3}\pi r^3

(a) 求

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}

并将答案化为最简形式。

(1)

在时刻 $t$ 秒时，气球体积按照下列微分方程增加：

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=&\,\frac{900}{(2t+3)^2},\\[4mm] &t\ge 0. \end{align*}

已知当 $t=0$ 时， $V=0$ 。

(b) (i) 解这个微分方程，并证明以下等式：

V=\frac{300t}{2t+3}

(ii) 进而求气球体积的上限。

(5)

(3)

(d) 求当 $t=3$ 时气球半径的增长率，答案精确到 2 位有效数字。写出过程并说明答案的单位。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $\frac{4}{3}\pi$ 视为常数，对 $r^3$ 求导并化简。

答题过程

展开

Differentiating with respect to $r$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} =&\,\frac43\pi(3r^2)\\ =&\,\boxed{4\pi r^2}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

对给出的 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ 关于 $t$ 积分，得到含积分常数的 $V$ 。利用 $t=0$ 时 $V=0$ 求出常数，再把结果通分成题目指定的形式。

答题过程

展开

Integrating with respect to $t$ ,

\begin{align*} V=&\,\int 900(2t+3)^{-2}\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,-\frac{450}{2t+3}+C. \end{align*}

Using $V=0$ when $t=0$ ,

0=-\frac{450}{3}+C,

C=150.

Hence

\begin{align*} V=&\,150-\frac{450}{2t+3}\\[4mm] =&\,\frac{300t+450-450}{2t+3}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{300t}{2t+3}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

由于 $t\geq 0$ ，体积会随时间增加并趋近一个上限。对上一问所得的 $V$ 取 $t\to\infty$ 的极限即可。

答题过程

展开

As $t\to\infty$ , the ratio of the linear numerator and denominator tends to the ratio of their leading coefficients:

\begin{align*} V=&\,\frac{300t}{2t+3}\\[4mm] \longrightarrow&\,150. \end{align*}

Therefore, the upper limit of the volume is

\boxed{150\text{ cm}^3}.

(c)

解法一

思路

展开

先把 $t=3$ 代入体积公式求出此时的 $V$ ，再代入球体体积公式解出 $r$ ，最后按要求取 3 位有效数字。

答题过程

展开

When $t=3$ ,

V=\frac{300(3)}{2(3)+3}=100.

Using $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ ,

100=\frac{4}{3}\pi r^3.

Thus

\begin{align*} r=&\,\bigg(\frac{75}{\pi}\bigg)^{\frac13}\\[4mm] =&\,2.879\ldots \end{align*}

Therefore, to 3 significant figures,

\boxed{r=2.88\text{ cm}}.

(d)

解法一

思路

展开

体积 $V$ 同时依赖半径 $r$ ，而半径又随时间 $t$ 变化，因此使用链式法则

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}.

把 $t=3$ 、上一问的半径及 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2$ 代入，即可求出半径的增长率。

答题过程

展开

By the chain rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\\[4mm] =&\,4\pi r^2\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}. \end{align*}

At $t=3$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{900}{(2(3)+3)^2}\\[4mm] =&\,\frac{100}{9}. \end{align*}

Using

r=\bigg(\frac{75}{\pi}\bigg)^{\frac13},

we obtain

4\pi r^2\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} =\frac{100}{9}.

Using the unrounded value of $r$ , let $K=4\pi r^2$ . Then

K=104.187941573\ldots

and

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{100}{9K}\\[4mm] =&\,0.1066\ldots \end{align*}

Therefore, to 2 significant figures,

\boxed{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} =0.11\text{ cm s}^{-1}}.

P4 2023 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程