CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2023 Oct Q2

A Level / Edexcel / P4

IAL 2023 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

Figure 1 shows a cube which is increasing in size.

At time tt seconds,

  • the length of each edge of the cube is xx cm
  • the surface area of the cube is SS cm2^2
  • the volume of the cube is VV cm3^3

Given that the surface area of the cube is increasing at a constant rate of 44 cm2^2 s−1^{-1}

(a) show that

dxdt=kx\frac{dx}{dt}=\frac{k}{x}

where kk is a constant to be found,

(4)

(b) show that

dVdt=Vp\frac{dV}{dt}=V^p

where pp is a constant to be found.

(3)
题目中文翻译

图 1 表示一个正在增大的立方体。

在时刻 tt 秒时：

  • 立方体每条棱的长度为 xx cm
  • 立方体的表面积为 SS cm2^2
  • 立方体的体积为 VV cm3^3

已知立方体表面积正以恒定速率 44 cm2^2 s−1^{-1} 增加。

(a) 证明

dxdt=kx\frac{dx}{dt}=\frac{k}{x}

其中 kk 为待求常数。

(b) 证明

dVdt=Vp\frac{dV}{dt}=V^p

其中 pp 为待求常数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

立方体的表面积为 S=6x2S=6x^2。对时间 tt 求导，并用已知的 dSdt=4\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=4，即可解出 dxdt\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} 及常数 kk。

答题过程

展开

The surface area of the cube is

S=6x2.S=6x^2.

Differentiating with respect to tt,

dSdt=12xdxdt.\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} =12x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.

Since dSdt=4\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=4,

4= 12xdxdt,dxdt= 13x.\begin{align*} 4=&\,12x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{1}{3x}. \end{align*}

Therefore,

dxdt=kx,k=13.\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{k}{x}, \qquad k=\frac{1}{3}}.

(b)

解法一

思路

展开

利用体积 V=x3V=x^3，把 dVdt\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} 写成 dVdxdxdt\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}。代入上一问的结果后先得到关于 xx 的式子，再用 x=V1/3x=V^{1/3} 改写成题目要求的形式。

答题过程

展开

The volume of the cube is

V=x3,V=x^3,

so

dVdx=3x2.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=3x^2.

Using the result from part (a),

dVdt= dVdxdxdt= 3x2(13x)= x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ =&\,3x^2\bigg(\frac{1}{3x}\bigg)\\ =&\,x. \end{align*}

Since V=x3V=x^3 and x>0x>0,

x=V13.x=V^{\frac13}.

Hence

dVdt=Vp,p=13.\boxed{ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=V^p, \qquad p=\frac{1}{3} }.

解法二

思路

展开

这是官方评分资料接受的另一条路线。先消去棱长 xx，直接建立表面积 SS 与体积 VV 的关系，再用链式法则把已知的表面积变化率转换为体积变化率。

答题过程

展开

Since

V=x3,S=6x2,V=x^3, \qquad S=6x^2,

we have

S=6V23.S=6V^{\frac23}.

Therefore,

dSdV=4V−13.\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}V} =4V^{-\frac13}.

Using

dVdt=dVdSdSdt,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}S} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t},

gives

dVdt= 14V−13×4= V13.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{1}{4V^{-\frac13}}\times4\\ =&\,V^{\frac13}. \end{align*}

Hence

p=13.\boxed{p=\frac{1}{3}}.