图 1 表示一个正在增大的立方体。

在时刻 $t$ 秒时：

• 立方体每条棱的长度为 $x$ cm
• 立方体的表面积为 $S$ cm$^2$
• 立方体的体积为 $V$ cm$^3$

已知立方体表面积正以恒定速率 $4$ cm$^2$ s$^{-1}$ 增加。

(a) 证明

其中 $k$ 为待求常数。

(b) 证明

其中 $p$ 为待求常数。

立方体的表面积为 $S=6x^2$。对时间 $t$ 求导，并用已知的 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=4$，即可解出 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 及常数 $k$。

The surface area of the cube is

Differentiating with respect to $t$,

Since $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=4$,

Therefore,

where

也可以先把恒定表面积变化率积分，得到 $S=4t+c$，再代入 $S=6x^2$ 对时间求导。这与直接用链式法则的答案一致。

The surface area satisfies

Integrating with respect to $t$ gives

where $c$ is constant.

Since $S=6x^2$,

Differentiating with respect to $t$,

Hence

so

也可对 $x$ 求导同一个关系，得到

取倒数同样得 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=1/(3x)$，不需要另写一套过程。

利用体积 $V=x^3$，把 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ 写成 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$。代入上一问的结果后先得到关于 $x$ 的式子，再用 $x=V^{1/3}$ 改写成题目要求的形式。

The volume of the cube is

so

Using the result from part (a),

Since $V=x^3$ and $x>0$,

Hence

Therefore

先消去棱长 $x$，直接建立表面积 $S$ 与体积 $V$ 的关系，再用链式法则把已知的表面积变化率转换为体积变化率。

Since

we have

Therefore,

Using

gives

Hence