(a) 用反证法证明：对所有正数 $k$，

成立。

(b) 证明 (a) 中的结论并不对所有实数都成立。

按反证法，假设存在正数 $k$ 使 $k+9/k<6$。因为 $k>0$，乘以 $k$ 时不等号方向不变；整理后得到平方小于 $0$，与实数平方非负矛盾。

Assume, for a contradiction, that there exists a positive number $k$ such that

Since $k>0$, multiplying by $k$ does not reverse the inequality:

This is impossible because the square of a real number is non-negative.

Therefore the assumption is false, and

for every positive number $k$.

也可以直接因式分解：从上述假设移项可得

而分子非负、分母为正，矛盾。左边也可写成

同样不可能为负。

也可以将假设两边平方。因 $k>0$，左边为正，所以

implies

Expanding and rearranging,

Again a square cannot be negative. Hence the assumption is false and $k+9/k\ge6$ for all positive $k$.

也可在同一个反证设定下反向展开 $(k-3)^2\ge0$，再除以正数 $k$，直接得到 $k+9/k\ge6$，与假设矛盾；无须复制整套平方运算。

保留反证设定，令 $f(k)=k^2-6k+9$，假设会使 $f(k)<0$。也可以用判别式说明这个开口向上的二次函数只有重根，因而不可能取负值。

Assume, for a contradiction, that for some $k>0$,

Multiplying by the positive number $k$ gives

Let

The discriminant of $f(k)=0$ is

The repeated root is

Since the coefficient of $k^2$ is positive, the quadratic touches, but never goes below, the horizontal axis. Thus $f(k)\ge0$, contradicting $f(k)<0$.

Therefore

for all positive $k$.

这一结论的图形解释是：$y=f(k)$ 为开口向上的抛物线，顶点 $(3,0)$ 位于横轴，曲线不在横轴下方。它与上述重根判断是同一几何事实，这里不再另写重复的草图解法。

在同一个反证假设下，二次式必须小于 $0$。也可以对该二次式求导，证明其最小值为 $0$，由此得到矛盾。

Assume, for a contradiction, that for some $k>0$,

Because $k>0$, this gives

Set

Differentiate:

A stationary point satisfies

so $k=3$.

Since

and $f$ is a quadratic, this point is its minimum.

At $k=3$,

Hence $f(k)\ge0$, which contradicts the assumed $f(k)<0$.

Therefore

for all positive $k$.

只需给出一个反例。取 $k=-3$，左边为 $-6$，不满足“大于或等于 $6$”。也可以指出任意负数 $k$ 都使两项为负。

Take $k=-3$. Then

Thus $k=-3$ is a counterexample, so the result is not true for all real numbers.

More generally, if $k<0$, then $9/k<0$, and therefore

So every negative value of $k$ is a counterexample.