图 2 给出了曲线 $C$ 的示意图，其方程为

其中 $k$ 是一个大于 $1$ 的正常数。

(a) 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，用 $x$ 和 $y$ 表示。

点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

已知曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线方程为 $y=x$，如图 2 所示，

(b) 求 $k$ 的值。

对曲线方程关于 $x$ 隐式求导，其中 $4x^2y$ 要用乘积法则。用 $g=\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 暂记导数，先收集含 $g$ 的项，最后恢复导数记号。

Let

Differentiate each term with respect to $x$:

and, by the product rule,

Since $k$ is constant, differentiating the curve equation gives

Collecting the terms in $g$,

Hence

法线 $y=x$ 的斜率是 $1$，因此切线斜率为 $-1$。点 $P$ 也在该法线上，将 $y=x$ 代入导数式，再以切线斜率为 $-1$ 求坐标，最后代回曲线求 $k$。

The normal $y=x$ has gradient $1$, so the tangent at $P$ has gradient

Since $P$ lies on the normal, $y=x$ at $P$. Substituting in part (a),

As $k>1$, the origin is not on $C$. Since $y=x$, we must have $x\ne0$ at $P$.

Therefore

Rejecting $x=0$ gives $x=2$. Hence $y=2$ and $P=(2,2)$.

Substituting in the curve equation,