题目

Problem

Figure 2 shows a sketch of the curve $C$ with equation

y^3-x^2+4x^2y=k

where $k$ is a positive constant greater than $1$

(a) Find

\frac{dy}{dx}

in terms of $x$ and $y$ .

(5)

The point $P$ lies on $C$ .

Given that the normal to $C$ at $P$ has equation $y=x$ , as shown in Figure 2,

(b) find the value of $k$ .

(5)

题目中文翻译

图 2 给出了曲线 $C$ 的示意图，其方程为

y^3-x^2+4x^2y=k

其中 $k$ 是一个大于 $1$ 的正常数。

(a) 用 $x,y$ 表示

\frac{dy}{dx}

。

点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

已知曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线方程为 $y=x$ ，如图 2 所示，

(b) 求 $k$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

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对曲线方程两边关于 $x$ 隐式求导。求导 $4x^2y$ 时使用乘积法则，然后把所有含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项移到同一边并提取公因式。

答题过程

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Differentiating

y^3-x^2+4x^2y=k

implicitly with respect to $x$ gives

3y^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} -2x+8xy +4x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =0.

Therefore,

\begin{align*} \big(3y^2+4x^2\big) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,2x-8xy,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\boxed{ \frac{2x-8xy}{3y^2+4x^2} }. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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法线 $y=x$ 的斜率为 $1$ ，因此曲线在 $P$ 点的切线斜率为 $-1$ 。同时 $P$ 在法线 $y=x$ 上，所以在导数式中令 $y=x$ 、 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$ ，先求出 $P$ ，再代回曲线方程求 $k$ 。

答题过程

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The normal $y=x$ has gradient $1$ , so the tangent to $C$ at $P$ has gradient

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1.

Since $P$ also lies on the normal, $y=x$ at $P$ . Hence

-1=\frac{2x-8x^2}{3x^2+4x^2}.

As $k>1$ , the origin is not on $C$ , so $x\ne 0$ . Therefore,

\begin{align*} -7x^2=&\,2x-8x^2,\\ x^2-2x=&\,0,\\ x=&\,2. \end{align*}

Thus $P=(2,2)$ . Substituting this point into the equation of $C$ ,

\begin{align*} k =&\,2^3-2^2+4(2^2)(2)\\ =&\,8-4+32\\ =&\,\boxed{36}. \end{align*}

IAL 2023 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程