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IAL 2023 Oct Q6

A Level / Edexcel / P4

IAL 2023 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

The line l1l_1 has equation r=(23−7)+λ(122)\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} where λ\lambda is a scalar parameter.

The line l2l_2 has equation r=(23−7)+μ(4−18)\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix} where μ\mu is a scalar parameter.

Given that l1l_1 and l2l_2 meet at the point PP

(a) state the coordinates of PP

(1)

Given that the angle between lines l1l_1 and l2l_2 is θ\theta

(b) find the value of cos⁡θ\cos\theta, giving the answer as a fully simplified fraction.

(3)

The point QQ lies on l1l_1 where λ=6\lambda=6

Given that point RR lies on l2l_2 such that triangle QPRQPR is an isosceles triangle with PQ=PRPQ=PR

(c) find the exact area of triangle QPRQPR

(3)

(d) find the coordinates of the possible positions of point RR

(3)
题目中文翻译

直线 l1l_1 的方程为 r=(23−7)+λ(122)\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}，其中 λ\lambda 为标量参数。

直线 l2l_2 的方程为 r=(23−7)+μ(4−18)\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}，其中 μ\mu 为标量参数。

已知 l1l_1 与 l2l_2 相交于点 PP。

(a) 写出点 PP 的坐标。

已知直线 l1l_1 与 l2l_2 的夹角为 θ\theta，

(b) 求 cos⁡θ\cos\theta 的值，并将答案化为最简分数。

点 QQ 在 l1l_1 上，且 λ=6\lambda=6。

已知点 RR 在 l2l_2 上，并且三角形 QPRQPR 是等腰三角形，满足 PQ=PRPQ=PR，

(c) 求三角形 QPRQPR 的精确面积。

(d) 求点 RR 可能的位置坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

两条直线的参数方程有相同的起点向量，所以当两个参数都为 00 时，它们经过同一个点。这个点就是交点 PP。

答题过程

展开

Both lines contain the point with position vector

(23−7).\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ -7 \end{pmatrix}.

Therefore

P=(2,3,−7).\boxed{P=(2,3,-7)}.

(b)

解法一

思路

展开

两条直线的夹角就是它们方向向量的夹角。用点积公式 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta。

答题过程

展开

The direction vectors are

a=(122),b=(4−18).\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 8 \end{pmatrix}.

Their scalar product is

a⋅b=1(4)+2(−1)+2(8)=18.\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1(4)+2(-1)+2(8)=18.

Also,

∣a∣=12+22+22=3,|\mathbf{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3,

and

∣b∣=42+(−1)2+82=9.|\mathbf{b}|=\sqrt{4^2+(-1)^2+8^2}=9.

Hence

18=3⋅9cos⁡θ.18=3\cdot 9\cos\theta.

Therefore

cos⁡θ=23.\boxed{\cos\theta=\frac23}.

(c)

解法一

思路

展开

先由 λ=6\lambda=6 找到 PQ→\overrightarrow{PQ} 的长度。又因为 PQ=PRPQ=PR，且两边夹角就是两条直线的夹角 θ\theta，所以三角形面积可用 12absin⁡C\frac12ab\sin C。

答题过程

展开

Since QQ lies on l1l_1 with λ=6\lambda=6,

PQ→=6(122)=(61212).\overrightarrow{PQ} =6 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 12 \end{pmatrix}.

So

PQ=62+122+122=18.PQ=\sqrt{6^2+12^2+12^2}=18.

Since PQ=PRPQ=PR, we also have

PR=18.PR=18.

From part (b),

cos⁡θ=23.\cos\theta=\frac23.

Thus

sin⁡θ=1−(23)2=53.\sin\theta =\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2} =\frac{\sqrt5}{3}.

Therefore

Area of △QPR=12(PQ)(PR)sin⁡θ=12(18)(18)⋅53=545.\begin{align*} \text{Area of } \triangle QPR &=\frac12(PQ)(PR)\sin\theta\\ &=\frac12(18)(18)\cdot\frac{\sqrt5}{3}\\ &=54\sqrt5. \end{align*}

So the exact area is

545.\boxed{54\sqrt5}.

(d)

解法一

思路

展开

点 RR 在 l2l_2 上，所以 PR→\overrightarrow{PR} 是 l2l_2 的方向向量的某个倍数。由 PR=PQ=18PR=PQ=18 求出参数 μ\mu 的两个可能值，再代回 l2l_2。

答题过程

展开

A general point RR on l2l_2 has

PR→=μ(4−18).\overrightarrow{PR} =\mu \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 8 \end{pmatrix}.

Since PR=18PR=18,

∣μ(4−18)∣=18.\left|\mu \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 8 \end{pmatrix} \right|=18.

So

μ2(42+(−1)2+82)=18281μ2=324μ2=4μ=±2.\begin{align*} \mu^2(4^2+(-1)^2+8^2)&=18^2\\ 81\mu^2&=324\\ \mu^2&=4\\ \mu&=\pm 2. \end{align*}

Using

r=(23−7)+μ(4−18),\mathbf{r}= \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ -7 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 8 \end{pmatrix},

when μ=2\mu=2,

R=(2,3,−7)+2(4,−1,8)=(10,1,9).R=(2,3,-7)+2(4,-1,8)=(10,1,9).

When μ=−2\mu=-2,

R=(2,3,−7)−2(4,−1,8)=(−6,5,−23).R=(2,3,-7)-2(4,-1,8)=(-6,5,-23).

Therefore the possible positions of RR are

(10,1,9)and(−6,5,−23).\boxed{(10,1,9)\quad\text{and}\quad(-6,5,-23)}.