直线 $l_1$ 的方程为

其中 $\lambda$ 为标量参数。

直线 $l_2$ 的方程为

其中 $\mu$ 为标量参数。

已知 $l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $P$。

(a) 写出点 $P$ 的坐标。

已知直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角为 $\theta$，

(b) 求 $\cos\theta$ 的值，并将答案化为最简分数。

点 $Q$ 在 $l_1$ 上，且 $\lambda=6$。

已知点 $R$ 在 $l_2$ 上，并且三角形 $QPR$ 是等腰三角形，满足 $PQ=PR$，

(c) 求三角形 $QPR$ 的精确面积。

(d) 求点 $R$ 可能的位置坐标。

两条直线有相同的起点向量。两个参数都为 $0$ 时经过同一个点，这就是交点 $P$。

Setting $\lambda=0$ and $\mu=0$ gives the same position vector on both lines:

Therefore

用两条直线的方向向量求点积，再用 $\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$ 求夹角余弦。

The direction vectors are

and

Their scalar product is

Their magnitudes are

and

Using

gives

Hence

也可以使用余弦定理。分别在两条直线上取参数为 $1$ 的点 $A$、$B$，则 $PA=3$、$PB=9$；用两个方向向量的差求 $AB$，再在三角形 $PAB$ 中应用余弦定理。

Take $A$ on $l_1$ with $\lambda=1$ and $B$ on $l_2$ with $\mu=1$. Then

and

Hence

and

Subtracting corresponding components,

Therefore

Let the angle $APB$ be $\phi$. By the cosine rule,

Thus

so

This is positive, so $\phi$ is the acute angle between the two lines, namely $\theta$. Hence

由 $\lambda=6$ 求 $PQ$，再用 $PQ=PR$ 与面积公式 $\frac12ab\sin C$。$R$ 在 $P$ 两侧有两个位置，实际夹角为 $\theta$ 或 $\pi-\theta$，但正弦相同，因此面积相同。

For $\lambda=6$,

Hence

Equivalently, $PQ=6|\mathbf a|=6(3)=18$.

Since $PQ=PR$, we have $PR=18$.

From part (b),

The angle between the lines is acute, so

For the two possible positions of $R$, the angle $QPR$ is $\theta$ or $\pi-\theta$, and

Thus, writing the area as $A$,

由直线 $l_2$ 的参数式，$\overrightarrow{PR}$ 是方向向量的 $\mu$ 倍。用 $PR=18$ 求出 $\mu=\pm2$，再分别代入三个坐标分量。

A general point $R$ on $l_2$ has

Since $PR=18$,

Equivalently, $PR=9|\mu|=18$ gives $|\mu|=2$.

The coordinates of $R$ satisfy

When $\mu=2$,

When $\mu=-2$,

Therefore the possible positions are

and