某岛上的山羊数量正在被监测。

开始监测时，岛上有 3000 只山羊。

在一个简单模型中，山羊数量 $x$（单位：千只）满足方程

其中 $k$ 为常数，$t$ 表示开始监测后的年数。

(a) 证明 $k=1.8$。

(b) 进而求出该模型预测的山羊长期数量。

在第二个模型中，山羊数量 $x$（单位：千只）满足微分方程

(c) 将

写成部分分式形式。

(d) 结合初始条件解该微分方程，证明其解为

(e) 求该第二个模型预测的山羊长期数量。

山羊数量的单位是千只，因此开始时 $t=0$、$x=3$。代入模型求 $k$；也可以代入给定的 $k$ 验证初始数量。

At the start, $t=0$ and $x=3$. Substituting into the model,

Hence $\boxed{k=1.8}$.

也可以代入验证。取 $k=1.8$、$t=0$，则

This is 3000 goats, agreeing with the initial population, so $k=1.8$ is verified.

承接 (a) 的 $k=1.8$。当 $t$ 很大时，用分子、分母最高次项系数的比求长期数量，最后把千只换成只。

Using $k=1.8$,

As $t\to\infty$,

Since $x$ is measured in thousands, the long-term population is $\boxed{4050}$ goats.

设部分分式为 $\frac{A}{x}+\frac{B}{9-2x}$，通分后比较系数。代入使某一项为零的 $x$ 值也可以求出同一组系数。

Let

Multiplying by $x(9-2x)$ gives

Comparing coefficients,

Thus $A=\frac13$ and $B=\frac23$. Therefore

同一恒等式也可用代入法：

This again gives $A=\frac13$ and $B=\frac23$, and hence the same partial fractions.

先分离变量，再用 (c) 的部分分式积分。保留积分常数，代入 $t=0$、$x=3$ 后再去掉对数，逐步整理为题目要求的显式形式。也可以先指数化，再确定常数。

Separate variables:

Using part (c), the two antiderivatives are

and

Hence

At $t=0$, $x=3$,

so $C=0$. Multiplying by $3$ and combining logarithms,

Exponentiating,

Rearranging,

Dividing numerator and denominator by $e^{3t}$ gives

也可以先求指数形式中的常数：在代入初始条件之前先写成

so

Using $t=0$, $x=3$,

so $K=1$. The rearrangement is then exactly as above. 不能省去常数及初始条件的使用。

也可以将分离变量后的等式两边都除以 $3$：

此时部分分式系数相应变成 $\frac19$、$\frac29$：

Integrating gives

Multiplying by $3$ returns the same equation with $C=3c$, so the remaining steps are unchanged.

承接 (d) 的显式解；当 $t\to\infty$ 时，$e^{-3t}\to0$。最后记得将千只换成只。

From part (d),

As $t\to\infty$, $e^{-3t}\to0$, so

The long-term population is therefore $\boxed{4500}$ goats.