图 3 给出了曲线 $C$ 的示意图，其参数方程为

该曲线与 $y$ 轴交于 $2$，与 $x$ 轴交于 $k$，其中 $k$ 为常数。

(a) 写出 $k$ 的值。

(b) 用参数求导法证明

其中 $\lambda$ 为待求常数。

参数为 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 的点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $N$。

(c) 求 $N$ 点的 $y$ 坐标精确值，并将答案化为最简形式。

由曲线、$x$ 轴和 $y$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度，形成一个旋转体。

(d) (i) 证明该旋转体的体积可表示为

其中 $\alpha,\beta$ 为待求常数。

(ii) 进而用代数积分法求该旋转体的精确体积。

与 $x$ 轴相交时 $y=0$，在给定范围内得到 $t=\frac{\pi}{2}$，代入 $x$ 的参数方程。

At the $x$-axis, $y=0$, so $2\cos t=0$.

For $0\le t\le\frac{\pi}{2}$, this gives $t=\frac{\pi}{2}$. Hence

Therefore $\boxed{k=3\pi}$.

分别求参数导数，再用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\div\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$。用 $\cos2t=1-2\sin^2t$ 化简分母。

Differentiating the parametric equations,

and

Therefore

Using $\cos2t=1-2\sin^2t$,

Hence

Thus $\boxed{\lambda=-\frac16}$.

也可以直接比较系数：将最初的导数式与 $\lambda\cosec t$ 比较，两边乘以 $\sin t$，则

This gives the same required derivative.

先求点 $P$ 的坐标及切线斜率。将它们代入 $y=mx+c$ 求截距；也可以使用点斜式，令 $x=0$ 后得到同一结果。

At $t=\frac{\pi}{4}$,

and

Using part (b), the gradient is

Let the tangent be $y=mx+c$. At $P$, $c=y_P-mx_P$, so

At the $y$-axis, $x=0$ and $y=c$. Therefore the exact $y$ coordinate of $N$ is

点斜式的短变式：

At $N$, $x=0$, so $y_N-y_P=-mx_P$. Hence $y_N=y_P-mx_P$, giving the same calculation and result.

(i) 用 $V=\pi\int y^2\,\mathrm{d}x$，将 $\mathrm{d}x$ 换成 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t$。参数从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$；用倍角公式化成含 $\cos4t$ 的被积函数，注意 $\pi$ 必须包含在 $\beta$ 中。(ii) 承接所得积分，用代数积分求精确体积。

(i)

The region runs from $t=0$ at the $y$-axis to $t=\frac{\pi}{2}$ at the $x$-axis. Thus

Write $H=y^2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$. Then

Here we used $\sin2t=2\sin t\cos t$ and $\sin^2(2t)=\frac{1-\cos4t}{2}$.

Therefore

Hence

被积函数还可以用以下两种三角恒等式化简。

用 $4\cos^2t=2+2\cos2t$：

或者用 $\sin^2t=1-\cos^2t$：

Since

we again obtain $H=6(1-\cos4t)$.

(ii)

Using the integral found in (i), an antiderivative is

The endpoint values are

and $F(0)=0$. Hence

The exact volume is $\boxed{3\pi^2}$.