已知

(a) 求常数 $A,B,C$ 的值。

(b) 进而求

的精确值，并将答案写成 $p\ln q+r$ 的形式，其中 $p,q,r$ 都是有理数。

先把恒等式两边同乘公共分母 $(x-2)(2x+1)^2$。然后代入能让某些因子变成 $0$ 的 $x$ 值，先求出 $A$ 和 $C$，最后再代入一个方便的值求 $B$。

Given

multiply both sides by $(x-2)(2x+1)^2$:

Put $x=2$:

Put $x=-\frac12$:

Now put $x=0$ in the identity:

Using $A=\frac25$ and $C=-1$,

Therefore

也可以比较系数。这个方法计算稍多，但它适合检查部分分式答案是否完整一致。

From

expand each product:

Thus the coefficients on the right are

Compare coefficients:

From $4A+2B=0$,

Substitute this into the other two equations:

From $C=3-10A$, the second equation gives

Thus

So

“Hence” 表示要使用 (a) 的部分分式结果。把 integrand 分成三个较简单的项后分别积分：前两个给出对数项，最后一个是 $(2x+1)^{-2}$ 的积分。最后按题目要求把对数合并成单个 $\ln q$。

Using part (a), let

The partial fractions give

The required antiderivatives are

and

Since $7\leq x\leq12$, both logarithm arguments are positive. An antiderivative is

At the two limits,

and

The log difference is

and

Therefore

也可以先合并后两项，再拆分分子。令

Using $8x+9=4(2x+1)+5$,

The last two partial fractions contribute $-\frac15J$, which gives the same $F(x)$ and hence the same value of $I$.