图 1 所示曲线 $C$ 的方程为

其中 $k$ 为常数。

(a) 用 $x,y$ 表示 $\dfrac{dy}{dx}$。

点 $P\,(p,2)$ 在曲线 $C$ 上，其中 $p$ 为常数。

已知 $P$ 是曲线 $C$ 的极小转折点，

(b) 求

(i) $p$ 的值；

(ii) $k$ 的值。

这是隐函数求导。因为 $y$ 是 $x$ 的函数，所以对 $xy^2$ 要用乘积法则，对 $3y$ 要乘上 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。最后把所有含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项移到同一边并提取出来。

The curve is

Differentiate implicitly with respect to $x$:

So

Collect the derivative terms:

Therefore

转折点处切线水平，所以 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$。在 (a) 的表达式中，分母不为零时，导数为 $0$ 等价于分子为 $0$。题目给出点是 $(p,2)$，所以代入 $y=2$ 求 $p$，再代回曲线方程求 $k$。

At a turning point,

Using the result from part (a),

For the point $P(p,2)$, substitute $y=2$:

Now substitute $x=\frac12$ and $y=2$ into the curve:

This gives

Therefore

也可以不用导数求 $p$。把 $y=2$ 代入曲线，得到关于 $x$ 的二次方程。因为 $P$ 是极小转折点，直线 $y=2$ 与曲线在该点相切，所以这个二次方程有重根。由完成平方或判别式为零可以同时求出 $p$ 和 $k$。

At $P(p,2)$, substitute $y=2$ into the curve:

So

or

Complete the square:

For $P$ to be a turning point at $y=2$, this equation must have a repeated root. Hence

so

Then

which gives

Therefore