图 2 所示圆锥满足：

• 高固定为 $5$ cm；
• 底面半径为 $r$ cm；
• 母线长为 $l$ cm。

(a) 用 $r$ 表示 $l$。

已知底面半径以每分钟 $3$ cm 的恒定速率增加，

(b) 求当圆锥半径为 $1.5$ cm 时，圆锥总表面积的变化率。答案用 cm$^2$ 每分钟表示，并保留到 1 位小数。

[圆锥总表面积 $S$ 的公式为 $S=\pi r^2+\pi rl$]

圆锥的高、半径和母线长组成直角三角形。高固定为 $5$，底面半径为 $r$，母线长 $l$ 是斜边，所以直接用勾股定理。

By Pythagoras’ theorem,

Since $l>0$,

先把总表面积写成 $r$ 的函数，求导后乘已知半径变化率。用短记号表示母线长，可以避免嵌套根式分母；也可通过根号变形或改用 $l$ 的链式关系计算。

Using part (a),

Let $u=\sqrt{r^2+25}$. Then

The product rule gives

When $r=1.5$,

Hence at this radius,

By the chain rule,

With $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=3$,

Therefore the required rate is

也可以把 $r$ 移入根号后求导；这只是同一 $S(r)$ 路线的变形：

Since $r>0$, this is the same derivative as above.

也可改用母线长 $l$：由 $r=\sqrt{l^2-25}$，

and

while

Their product is

which again gives $81.5\text{ cm}^2$ per minute at $r=1.5$.

保留 $S=\pi r^2+\pi rl$，直接对时间求导。先用 $l^2=r^2+25$ 求母线变化率，再代入表面积变化率。

From $l^2=r^2+25$,

Thus, since $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=3$,

Differentiating $S=\pi r^2+\pi rl$ with respect to time gives

At $r=1.5$,

and

Substituting these values gives

Therefore

由恒定半径变化率得到 $r=3t+c$，选择时间原点后令 $r=3t$，把表面积写成 $S(t)$ 再求导。

Since $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=3$,

Choose the time origin so that $c=0$. Then $r=3t$, and part (a) gives

Hence

Put $v=\sqrt{25+9t^2}$. Then

Differentiating with respect to $t$,

When $r=1.5$, $t=0.5$ and $v=\frac{\sqrt{109}}2$. Thus

So the required rate is