(a) 求

(b) 进而解微分方程

并将答案写成 $y^n=f(t)$ 的形式，其中 $n$ 为整数。

使用两次分部积分：先对 $x^2$ 求导，再处理剩下的 $x\sin2x$。把两个积分分别记为 $I$ 和 $K$，有助于看清符号并保持每行较短。

Let

For integration by parts, take $u=x^2$ and $\mathrm{d}v=\cos2x\,\mathrm{d}x$. Then $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ and $v=\frac12\sin2x$, so

where

For $K$, take $u=x$ and $\mathrm{d}v=\sin2x\,\mathrm{d}x$. Now $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v=-\frac12\cos2x$. Hence

Substituting back,

也可以用表格法组织分部积分。不断对 $x^2$ 求导、对 $\cos2x$ 积分，再取带交替符号的对角乘积。

The repeated integration by parts table is

Take the three diagonal products with alternating signs:

and

Therefore

先分离变量，再用双角公式把右侧拆成两个积分。题目要求 Hence，因此明确调用 (a) 的原函数，并保留积分常数，最后写成 $y^3=f(t)$。

Rearranging the differential equation,

Separate variables and integrate:

The left side is $\frac13y^3$. On the right, use

Let $F(t)$ denote the antiderivative from part (a), with $x$ replaced by $t$:

Then

Thus

Multiply by $3$ and absorb the constant:

Substituting $F(t)$ gives the required form:

Here $n=3$ and $C$ is an arbitrary constant.