相对于固定原点 $O$，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程分别为

其中 $\lambda,\mu$ 为标量参数，$p$ 为常数。

已知 $l_1$ 与 $l_2$ 相交，

(a) 求 $p$ 的值；

(b) 求交点的位置向量；

(c) 求 $l_1$ 与 $l_2$ 的锐角，答案用度数表示并保留到 1 位小数。

点 $A$ 在 $l_1$ 上，且对应参数 $\lambda=2$。

点 $B$ 在 $l_2$ 上，并且 $\overrightarrow{AB}$ 垂直于 $l_2$。

(d) 求点 $B$ 的坐标。

相交表示三分量分别相等。先用不含 $p$ 的两个方程求参数，再代入含 $p$ 的方程。

At the intersection, equate the three components:

From (1),

Substitute into (3):

Hence

Equation (2) gives

把 (a) 求得的参数代入对应直线，先算三个坐标，再写位置向量。

Substitute $\mu=-2$ into $l_2$. The components are

Thus the position vector of the intersection is

用两条直线的方向向量点积求锐角。保留精确余弦值到最后，再按题目要求保留一位小数。

The direction vectors are

and

Their scalar product is

Also,

and

Using the scalar product formula,

Therefore

So

which gives $\theta=69.033009\ldots^\circ$. The required acute angle is

先确定 $A$，把 $B$ 写成 $l_2$ 上的一般点。垂直条件等价于 $\overrightarrow{AB}$ 与 $l_2$ 的方向向量点积为零。

At $\lambda=2$, the components of $A$ are

Hence

A general point on $l_2$ is

Thus

The direction of $l_2$ is $\mathbf{b}=(4,1,2)$. Perpendicularity requires

Expanding the scalar product,

Therefore

so

The coordinates of $B$ are then

Thus

以交点 $X$ 为基准，用直角三角形的投影关系。$\overrightarrow{XB}$ 是方向向量的倍数，可以简化长度计算；平方后有两个候选根，必须根据投影方向选根。

From parts (a) and (b),

and at $\lambda=2$,

Thus

so

For a point $B$ on $l_2$,

Hence

Since $\triangle AXB$ is right-angled at $B$,

From part (c),

Therefore

so

This gives

To select the correct direction, note that

and $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=11>0$. The projection of $\overrightarrow{XA}$ onto $\mathbf{b}$ is therefore positive, so $\mu+2>0$. Hence

Substitution into $l_2$ gives

也可以在同一三角形中先求垂直边，再用勾股关系：

so

Then

giving the same equation for $\mu$ and the same root selection.