题目

Problem

(a) Using the substitution $u=4x+2\sin 2x$ , or otherwise, show that

\begin{align*} &\,\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{4x+2\sin2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac18\big(e^{2\pi}-1\big). \end{align*}

(5)

The curve shown in Figure 3, has equation

y=6e^{2x+\sin 2x}\cos x

The region $R$ , shown shaded in Figure 3, is bounded by the positive $x$ -axis, the positive $y$ -axis and the curve.

The region $R$ is rotated through $2\pi$ radians about the $x$ -axis to form a solid.

(b) Use the answer to part (a) to find the volume of the solid formed, giving the answer in simplest form.

(3)

题目中文翻译

（a）使用代换 $u=4x+2\sin 2x$ ，或用其他方法，证明

\begin{align*} &\,\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{4x+2\sin2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac18\big(e^{2\pi}-1\big). \end{align*}

(5)

图 3 所示曲线的方程为

y=6e^{2x+\sin 2x}\cos x

图 3 中阴影区域 $R$ 由正 $x$ 轴、正 $y$ 轴和该曲线围成。

将区域 $R$ 绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度得到一个立体。

（b）利用（a）的结果，求所形成立体的体积，并将答案写成最简形式。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

按指定代换求导，用 $1+\cos2x=2\cos^2x$ 把微分与被积函数配好，再转换积分上下限。

答题过程

展开

Let

I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x,

and use the given substitution

u=4x+2\sin2x.

Then

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =&\,4+4\cos2x\\ =&\,4(1+\cos2x)\\ =&\,8\cos^2x. \end{align*}

Hence

\cos^2x\,\mathrm{d}x=\frac18\,\mathrm{d}u.

The new limits are

x=0\quad\Longrightarrow\quad u=0,

and

x=\frac{\pi}2\quad\Longrightarrow\quad u=2\pi.

Therefore

\begin{align*} I=&\,\frac18\int_0^{2\pi}e^u\,\mathrm{d}u\\ =&\,\frac18[e^u]_0^{2\pi}\\ =&\,\boxed{\frac18(e^{2\pi}-1)}. \end{align*}

This is the required result.

解法二

思路

展开

用双角公式后，可直接识别指数函数的导数；这种方法可直接识别原函数，无须正式换元。

答题过程

展开

Use the double-angle identity

\cos^2x=\frac12(1+\cos2x).

Let $v=4x+2\sin2x$ . Then

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=4(1+\cos2x).

By the chain rule,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^v) =4e^v(1+\cos2x).

Thus the integrand satisfies

e^v\cos^2x =\frac18\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^v).

Consequently,

I=\frac18[e^v]_0^{\frac{\pi}{2}}.

At $x=0$ , $v=0$ ; at $x=\frac{\pi}2$ , $v=2\pi$ . Therefore

\begin{align*} I=&\,\frac18e^{2\pi}-\frac18e^0\\ =&\,\boxed{\frac18(e^{2\pi}-1)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

圆盘法给出旋转体积。把 $y$ 平方后，被积函数正好是 (a) 中的常数倍，因此显式调用上一问的积分结果。

答题过程

展开

For rotation about the $x$ -axis,

V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}y^2\,\mathrm{d}x.

Since

y=6e^{2x+\sin2x}\cos x,

squaring gives

y^2=36e^{4x+2\sin2x}\cos^2x.

Hence $V=36\pi I$ , where $I$ is the integral in part (a). Using its value,

\begin{align*} V=&\,36\pi\times\frac18(e^{2\pi}-1)\\ =&\,\boxed{\frac{9\pi}2(e^{2\pi}-1)}. \end{align*}

P4 2024 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程