题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Find

\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos 3x\,\mathrm{d}x

giving your answer in simplest form.

(5)

题目中文翻译

本题中，你必须展示所有步骤。

完全依赖计算器技术的解答不可接受。

求

\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos 3x\,\mathrm{d}x

并将答案写成最简形式。

解答

展开

这里要计算的是 $x\cos 3x$ 的定积分。因为一个因子是 $x$ ，另一个因子是三角函数，所以用分部积分。题目特别要求展示所有步骤，因此不能只写最终答案。

展开

Use integration by parts:

\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u.

Let

u=x, \qquad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\cos 3x.

Then

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1, \qquad v=\frac13\sin 3x.

\begin{align*} \int x\cos 3x\,\mathrm{d}x =&\, x\cdot\frac13\sin 3x -\int \frac13\sin 3x\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\, \frac13x\sin 3x +\frac19\cos 3x. \end{align*}

Now apply the limits:

\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos 3x\,\mathrm{d}x =&\, \left[ \frac13x\sin 3x+\frac19\cos 3x \right]_0^{\frac{\pi}{6}} \\[2mm] =&\, \left( \frac13\cdot\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{2} +\frac19\cos\frac{\pi}{2} \right) -\left( 0+\frac19\cos 0 \right) \\[2mm] =&\, \frac{\pi}{18}-\frac19. \end{align*}

Therefore

\boxed{\frac{\pi}{18}-\frac19}

or equivalently

\boxed{\frac{\pi-2}{18}}.