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P4 2024 May Q2

A Level / Edexcel / P4

IAL 2024 May Paper · Question 2

题目

Problem

With respect to a fixed origin, OO, the point AA has position vector

OA→=(72−5)\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 7\\ 2\\ -5 \end{pmatrix}

Given that

AB→=(−243)\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}

(a) find the coordinates of the point BB.

(2)

The point CC has position vector

OC→=(a5−1)\overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} a\\ 5\\ -1 \end{pmatrix}

where aa is a constant.

Given that OC→\overrightarrow{OC} is perpendicular to BC→\overrightarrow{BC}

(b) find the possible values of aa.

(4)
题目中文翻译

相对于固定原点 OO，点 AA 的位置向量为

OA→=(72−5)\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 7\\ 2\\ -5 \end{pmatrix}

已知

AB→=(−243)\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}

(a) 求点 BB 的坐标。

点 CC 的位置向量为

OC→=(a5−1)\overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} a\\ 5\\ -1 \end{pmatrix}

其中 aa 为常数。

已知 OC→\overrightarrow{OC} 垂直于 BC→\overrightarrow{BC}。

(b) 求 aa 的所有可能值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由向量关系 OB→=OA→+AB→\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}。把两个列向量逐项相加，就得到点 BB 的位置向量，也就是点 BB 的坐标。

答题过程

展开

We have

OB→=OA→+AB→.\overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}.

Therefore

OB→= (72−5)+(−243)= (56−2).\begin{align*} \overrightarrow{OB} =&\, \begin{pmatrix} 7\\ 2\\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3 \end{pmatrix} \\[2mm] =&\, \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ -2 \end{pmatrix}. \end{align*}

Hence

B=(5,6,−2).\boxed{B=(5,6,-2)}.

(b)

解法一

思路

展开

已知 OC→\overrightarrow{OC} 垂直于 BC→\overrightarrow{BC}，所以它们的点积为 00。先用 BC→=OC→−OB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} 写出 BC→\overrightarrow{BC}，再列点积方程求 aa。

答题过程

展开

From part (a),

OB→=(56−2).\overrightarrow{OB}= \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ -2 \end{pmatrix}.

Also

OC→=(a5−1).\overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} a\\ 5\\ -1 \end{pmatrix}.

So

BC→= OC→−OB→= (a5−1)−(56−2)= (a−5−11).\begin{align*} \overrightarrow{BC} =&\, \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\[2mm] =&\, \begin{pmatrix} a\\ 5\\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ -2 \end{pmatrix} \\[2mm] =&\, \begin{pmatrix} a-5\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Since OC→\overrightarrow{OC} is perpendicular to BC→\overrightarrow{BC},

OC→⋅BC→=0.\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}=0.

Hence

(a5−1)⋅(a−5−11)=0a(a−5)+5(−1)+(−1)(1)=0a2−5a−6=0.\begin{align*} \begin{pmatrix} a\\ 5\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a-5\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} &=0 \\[2mm] a(a-5)+5(-1)+(-1)(1)&=0 \\[2mm] a^2-5a-6&=0. \end{align*}

Factorise:

(a−6)(a+1)=0.(a-6)(a+1)=0.

Therefore

a=−1 or a=6.\boxed{a=-1\ \text{or}\ a=6}.

解法二

思路

展开

也可以用直角三角形关系。因为 OC→⊥BC→\overrightarrow{OC}\perp\overrightarrow{BC}，所以三角形 OCBOCB 在 CC 处为直角，满足 OC2+BC2=OB2OC^2+BC^2=OB^2。这个方法本质上等价于点积为零，但几何意义更直观。

答题过程

展开

Since OC→⊥BC→\overrightarrow{OC}\perp\overrightarrow{BC},

OC2+BC2=OB2.OC^2+BC^2=OB^2.

Now

OC→=(a5−1),BC→=(a−5−11),OB→=(56−2).\overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} a\\ 5\\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{BC}= \begin{pmatrix} a-5\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{OB}= \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ -2 \end{pmatrix}.

Therefore

a2+52+(−1)2+(a−5)2+(−1)2+12=52+62+(−2)2a2+26+(a−5)2+2=652a2−10a−12=0a2−5a−6=0.\begin{align*} a^2+5^2+(-1)^2 +(a-5)^2+(-1)^2+1^2 &=5^2+6^2+(-2)^2 \\[2mm] a^2+26+(a-5)^2+2 &=65 \\[2mm] 2a^2-10a-12&=0 \\[2mm] a^2-5a-6&=0. \end{align*}

So

(a−6)(a+1)=0,(a-6)(a+1)=0,

and hence

a=−1 or a=6.\boxed{a=-1\ \text{or}\ a=6}.