题目

Problem

With respect to a fixed origin $O$ , the line $l_1$ is given by the equation

\mathbf r=\mathbf i+2\mathbf j+5\mathbf k+\lambda(8\mathbf i-\mathbf j+4\mathbf k)

where $\lambda$ is a scalar parameter.

The point $A$ lies on $l_1$ .

Given that $\left|\overrightarrow{OA}\right|=5\sqrt{10}$ ,

(a) show that at $A$ the parameter $\lambda$ satisfies

81\lambda^2+52\lambda-220=0

(3)

Hence

(b) (i) show that one possible position vector for $A$ is $-15\mathbf i+4\mathbf j-3\mathbf k$ .

(ii) find the other possible position vector for $A$ .

(3)

The line $l_2$ is parallel to $l_1$ and passes through $O$ .

Given that

$\overrightarrow{OA}=-15\mathbf i+4\mathbf j-3\mathbf k$
point $B$ lies on $l_2$ where $\left|\overrightarrow{OB}\right|=4\sqrt{10}$

(4)

题目中文翻译

相对于固定原点 $O$ ，直线 $l_1$ 的方程为

\mathbf r=\mathbf i+2\mathbf j+5\mathbf k+\lambda(8\mathbf i-\mathbf j+4\mathbf k)

其中 $\lambda$ 为标量参数。

点 $A$ 在 $l_1$ 上。

已知 $\left|\overrightarrow{OA}\right|=5\sqrt{10}$ 。

(a) 证明在点 $A$ 处，参数 $\lambda$ 满足

81\lambda^2+52\lambda-220=0

由此，

(b) (i) 证明 $A$ 的一个可能位置向量为 $-15\mathbf i+4\mathbf j-3\mathbf k$ 。

(ii) 求 $A$ 的另一个可能位置向量。

直线 $l_2$ 与 $l_1$ 平行且经过 $O$ 。

已知：

$\overrightarrow{OA}=-15\mathbf i+4\mathbf j-3\mathbf k$ ；
点 $B$ 在 $l_2$ 上，且 $\left|\overrightarrow{OB}\right|=4\sqrt{10}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 $A$ 在直线 $l_1$ 上，所以它的位置向量可以直接用参数 $\lambda$ 表示。题目给出 $\left|\overrightarrow{OA}\right|=5\sqrt{10}$ ，因此把三维坐标平方相加，令模长平方等于 $250$ ，再展开整理即可。

答题过程

展开

A general point on $l_1$ has position vector

\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1+8\lambda\\ 2-\lambda\\ 5+4\lambda \end{pmatrix}

Given

\left|\overrightarrow{OA}\right|=5\sqrt{10}

we have

(1+8\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(5+4\lambda)^2=(5\sqrt{10})^2

(1+8\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(5+4\lambda)^2=250

Expand:

1+16\lambda+64\lambda^2+4-4\lambda+\lambda^2+25+40\lambda+16\lambda^2=250

Therefore

81\lambda^2+52\lambda+30=250

Hence

\boxed{81\lambda^2+52\lambda-220=0}

(b)(i)

解法一

思路

展开

承接 (a)，先解二次方程。题目要求证明其中一个可能的位置向量是给定向量，所以需要把对应的 $\lambda$ 值代回直线方程，而不是只写出答案。

答题过程

展开

Solve

81\lambda^2+52\lambda-220=0

Factorise:

81\lambda^2+52\lambda-220=(\lambda+2)(81\lambda-110)

\lambda=-2

\lambda=\frac{110}{81}

Using $\lambda=-2$ ,

\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1+8(-2)\\ 2-(-2)\\ 5+4(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}

Therefore one possible position vector for $A$ is

\boxed{-15\mathbf i+4\mathbf j-3\mathbf k}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

另一个可能的位置向量来自另一个根 $\lambda=\dfrac{110}{81}$ 。把它代回 $l_1$ 的参数方程，分别求出 $\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ 的系数即可。

答题过程

展开

Using

\lambda=\frac{110}{81}

we get

\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1+8\left(\frac{110}{81}\right)\\ 2-\frac{110}{81}\\ 5+4\left(\frac{110}{81}\right) \end{pmatrix}

Thus

\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} \frac{961}{81}\\ \frac{52}{81}\\ \frac{845}{81} \end{pmatrix}

So the other possible position vector is

\boxed{ \frac{961}{81}\mathbf i+\frac{52}{81}\mathbf j+\frac{845}{81}\mathbf k }

(c)

解法一

思路

展开

因为 $l_2$ 与 $l_1$ 平行，所以 $l_2$ 的方向向量也是 $8\mathbf i-\mathbf j+4\mathbf k$ 。点 $B$ 在 $l_2$ 上，因此 $\overrightarrow{OB}$ 沿这个方向。三角形面积可以用

\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta

其中 $\theta$ 是 $\overrightarrow{OA}$ 与 $l_2$ 方向之间的夹角。先用点积求 $\cos\theta$ ，再转成 $\sin\theta$ 。

答题过程

展开

Since $l_2$ is parallel to $l_1$ , a direction vector for $l_2$ is

\mathbf d= \begin{pmatrix} 8\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}

We are using

\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} -15\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}

Find the angle $\theta$ between $\overrightarrow{OA}$ and $l_2$ :

\cos\theta =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\mathbf d}{|\overrightarrow{OA}||\mathbf d|}

Now

\overrightarrow{OA}\cdot\mathbf d =(-15)(8)+4(-1)+(-3)(4) =-136

Also,

|\overrightarrow{OA}|=5\sqrt{10}

and

|\mathbf d|=\sqrt{8^2+(-1)^2+4^2}=9

\cos\theta=\frac{-136}{45\sqrt{10}}

The area of triangle $OAB$ is

\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta

Since

|\overrightarrow{OB}|=4\sqrt{10}

we have

\text{Area} =\frac12(5\sqrt{10})(4\sqrt{10})\sin\theta

Now

\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}

\sin\theta =\sqrt{1-\left(\frac{-136}{45\sqrt{10}}\right)^2}

Therefore

\begin{aligned} \text{Area} &=100\sqrt{1-\left(\frac{-136}{45\sqrt{10}}\right)^2} \\ &=29.43\ldots \end{aligned}

Hence the area of triangle $OAB$ is

\boxed{29.4}

to one decimal place.

解法二

思路

展开

也可以不用直接求夹角。直线 $l_1$ 与以 $O$ 为球心的球面相交于两个可能的点 $A$ ，这两个点关于从 $O$ 到直线 $l_1$ 的垂足对称，所以两个可能位置向量的中点就是从 $O$ 到 $l_1$ 的垂足。由于 $l_2$ 经过 $O$ 且与 $l_1$ 平行，这个距离就是两条平行线之间的距离，也就是以 $OB$ 为底时三角形的高。

答题过程

展开

The two possible position vectors for $A$ are

\begin{pmatrix} -15\\ 4\\ -3 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{961}{81}\\ \frac{52}{81}\\ \frac{845}{81} \end{pmatrix}

Let $M$ be the midpoint of these two possible points. Then

x_M=\frac12\left(-15+\frac{961}{81}\right)=-\frac{127}{81}

y_M=\frac12\left(4+\frac{52}{81}\right)=\frac{188}{81}

z_M=\frac12\left(-3+\frac{845}{81}\right)=\frac{301}{81}

\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} -\frac{127}{81}\\ \frac{188}{81}\\ \frac{301}{81} \end{pmatrix}

So the perpendicular distance between the parallel lines $l_1$ and $l_2$ is

|\overrightarrow{OM}| =\frac{1}{81}\sqrt{127^2+188^2+301^2} =4.6534\ldots

Also,

|\overrightarrow{OB}|=4\sqrt{10}

Therefore

\begin{aligned} \text{Area} =&\,\frac12\times 4\sqrt{10}\times 4.6534\ldots \\ =&\,29.43\ldots \end{aligned}

Hence the area of triangle $OAB$ is

\boxed{29.4}

to one decimal place.

IAL 2024 May Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程