题目

Problem

(a) Find the first 4 terms of the binomial expansion, in ascending powers of $x$ , of

(8-3x)^{-\frac{1}{3}}\qquad |x|<\frac{8}{3}

giving each coefficient as a simplified fraction.

(4)

(b) Use the answer from part (a) with $x=\dfrac{2}{3}$ to find a rational approximation to $\sqrt[3]{6}$ .

(2)

题目中文翻译

(a) 求

(8-3x)^{-\frac{1}{3}}\qquad |x|<\frac{8}{3}

按 $x$ 的升幂展开时的前 4 项，并将每个系数化为最简分数。

(4)

(b) 利用 (a) 的结果并取 $x=\dfrac{2}{3}$ ，求 $\sqrt[3]{6}$ 的一个有理近似值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先提出常数 $8$ ，将表达式写成标准二项式形式。计算并简化系数后代入，最后乘回 $1/2$ 。

答题过程

展开

First factor out $8$ :

(8-3x)^{-1/3}=\frac12(1+u)^{-1/3}

where $u=-3x/8$ . The binomial formula is

\begin{align*} &\,(1+u)^n=1+nu\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{n(n-1)}2u^2\\ &\,\hspace{4pt}+\frac{n(n-1)(n-2)}6u^3+\cdots \end{align*}

For $n=-1/3$ , the second- and third-power coefficients are

\frac{n(n-1)}2=\frac29

and

\begin{align*} \frac{n(n-1)(n-2)}6 =&\,\frac{(-1)(-4)(-7)}{27\times6}\\ =&\,-\frac{14}{81}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} &\,(1+u)^{-1/3}=1-\frac13u\\ &\,\hspace{2pt}+\frac29u^2-\frac{14}{81}u^3+\cdots \end{align*}

Substituting $u=-3x/8$ gives

\begin{align*} &\,\bigg(1-\frac{3x}{8}\bigg)^{-1/3}\\ &\,=1+\frac{x}{8}+\frac{x^2}{32}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{7x^3}{768}+\cdots \end{align*}

Multiply each term by $1/2$ . The first four terms are

\boxed{ \begin{align*} &\,\frac12+\frac{x}{16}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{x^2}{64}+\frac{7x^3}{1536} \end{align*} }.

(b)

解法一

思路

展开

代入 $x=2/3$ 得到的是 $6^{-1/3}$ 的近似值，因此通分求和后还要取倒数。

答题过程

展开

When $x=2/3$ , $8-3x=6$ . Thus part (a) approximates $1/\sqrt[3]{6}$ , not $\sqrt[3]{6}$ itself.

The last three terms become

\begin{align*} \frac{x}{16}=&\,\frac1{24}\\ \frac{x^2}{64}=&\,\frac1{144}\\ \frac{7x^3}{1536}=&\,\frac7{5184}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac1{\sqrt[3]{6}} \approx&\,\frac12+\frac1{24}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac1{144}+\frac7{5184}\\ =&\,\frac{2592+216+36+7}{5184}\\ =&\,\frac{2851}{5184}. \end{align*}

Taking the reciprocal gives the rational approximation

\boxed{\sqrt[3]{6}\approx\frac{5184}{2851}}.

P4 2024 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程