图 5 给出了曲线的草图，其参数方程为

阴影区域 $R$ 由该曲线与 $x$ 轴围成。

(a) 证明区域 $R$ 的面积为

其中 $k$ 是待求常数。

(b) 进而使用代数积分，求区域 $R$ 的精确面积，并将答案写成

的形式，其中 $p,q$ 为常数。

参数曲线面积用 $\int y\,\mathrm{d}x$。先求 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$，再用二倍角公式化简 $y$，得到所需系数。

For the parametric curve,

Also, $\sin2t=2\sin t\cos t$, so

As $t$ runs from $0$ to $\pi/2$, $x=3t^2$ increases and $y\ge0$. Hence the area is

The integrand simplifies to

Therefore

so

承接 (a) 的面积积分，用分部积分消去因子 $t$。将剩下的 $\sin^3t$ 写成 $\sin t(1-\cos^2t)$，求原函数并代入端点。

By part (a), $\mathcal A=12I$, where

Use integration by parts with $u=t$ and $\mathrm{d}v=\sin^2t\cos t\,\mathrm{d}t$. Then $\mathrm{d}u=\mathrm{d}t$ and $v=\sin^3t/3$.

Let

Integration by parts gives

The boundary term is $\pi/6$, so

Use $\sin^3t=\sin t(1-\cos^2t)$. An antiderivative is

At $t=\pi/2$ it equals $0$; at $t=0$ it equals $-1+1/3=-2/3$. Therefore

Hence the exact area is

对剩余积分也可使用三倍角恒等式 $\sin3t=3\sin t-4\sin^3t$。由于

得到 $4J=3-1/3=8/3$，与上述结果一致。这只是计算同一剩余积分的另一种三角恒等式。

先令 $u=\sin t$，把积分化为含 $\arcsin u$ 的形式，分部积分后再以 $v=\sqrt{1-u^2}$ 换元。每次换元同步改变上下限。

By part (a),

Set $u=\sin t$, so $\mathrm{d}u=\cos t\,\mathrm{d}t$ and $t=\arcsin u$ on the given interval. The limits become $u=0$ and $u=1$, giving

Integrate by parts, differentiating $\arcsin u$ and integrating $u^2$:

where

The boundary term is $4(\pi/2)=2\pi$.

For $K$, use $v=\sqrt{1-u^2}$. Then $u^2=1-v^2$ and

The limits change from $u=0,1$ to $v=1,0$. Thus

Therefore

第一次分部积分后，对剩余的 $\sin^3t$ 再分部积分。边界项为零，剩下的 $\sin t\cos^2t$ 可直接积分。

Use the area integral from part (a). For its first integration by parts, take $u=t$ and $v=\sin^3t/3$. This gives

where

The boundary term equals $2\pi$, so $\mathcal A=2\pi-4J$.

Now integrate $J=\int_0^{\pi/2}\sin^2t\sin t\,\mathrm{d}t$ by parts again. Take $u=\sin^2t$ and $\mathrm{d}v=\sin t\,\mathrm{d}t$. Then

Hence

where

The boundary term for $J$ is zero at both endpoints. Also,

Thus $J=2L=2/3$. The exact area is therefore