图 2 给出了曲线 $C$ 的草图，其方程为

点 $P$ 的坐标为 $(1,2)$。

(a) 验证点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

(b) 用 $x,y$ 表示 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $Q$。

(c) 求点 $Q$ 的 $x$ 坐标，答案写成 $a+b\ln 2$ 的形式，其中 $a,b$ 为整数。

把点坐标代入原方程，验证左边为零。

Substitute $x=1,\ y=2$ into the equation of $C$:

This gives

So $P(1,2)$ lies on $C$.

也可先代入 $x=1$，得 $2y^2-4y=0$，即 $2y(y-2)=0$；$y=2$ 满足这个方程，因此 $P$ 在曲线上。

将 $y$ 视作 $x$ 的函数。$xy$ 用乘积法则，$8^x$ 用指数函数求导；先用短记号收集导数项，再还原。

Let $g=\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$. Differentiate implicitly. The separate terms give

Use the product rule for $-4xy$:

Also,

Combining these derivatives,

Collect the terms containing $g$:

Therefore

代入点坐标求切线梯度，取负倒数得到法线梯度。令法线方程中的 $y=0$ 求横截距，最后化为 $\ln2$。

At $P(1,2)$, the numerator of the derivative in part (b) is $2-8\ln8$, and its denominator is $4$. Hence the tangent gradient is

The normal gradient is the negative reciprocal:

So the normal at $P$ has equation

At its $x$-intercept $Q$, $y=0$, giving

Rearrange:

Since $\ln8=3\ln2$, the required coordinate is