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P4 2024 Oct Q8

A Level / Edexcel / P4

IAL 2024 Oct Paper · Question 8

题目

Problem

Relative to a fixed origin OO

  • the point AA has coordinates (−10,5,−4)(-10,5,-4)
  • the point BB has coordinates (−6,4,−1)(-6,4,-1)

The straight line l1l_1 passes through AA and BB.

(a) Find a vector equation for l1l_1.

(2)

The line l2l_2 has equation

r=(3pq)+μ(3−41)\mathbf{r}= \begin{pmatrix} 3\\ p\\ q \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 1 \end{pmatrix}

where pp and qq are constants and μ\mu is a scalar parameter.

Given that l1l_1 and l2l_2 intersect at BB,

(b) find the value of pp and the value of qq.

(3)

The acute angle between l1l_1 and l2l_2 is θ\theta.

(c) Find the exact value of cos⁡θ\cos\theta.

(3)

Given that the point CC lies on l2l_2 such that ACAC is perpendicular to l2l_2,

(d) find the exact length of ACAC, giving your answer as a surd.

(2)
题目中文翻译

相对于固定原点 OO，

  • 点 AA 的坐标为 (−10,5,−4)(-10,5,-4)；
  • 点 BB 的坐标为 (−6,4,−1)(-6,4,-1)。

直线 l1l_1 经过点 AA 和点 BB。

(a) 求 l1l_1 的一个向量方程。

(2)

直线 l2l_2 的方程为

r=(3pq)+μ(3−41)\mathbf{r}= \begin{pmatrix} 3\\ p\\ q \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 1 \end{pmatrix}

其中 p,qp,q 为常数，μ\mu 为标量参数。

已知 l1l_1 与 l2l_2 交于点 BB，

(b) 求 pp 与 qq 的值。

(3)

l1l_1 与 l2l_2 的锐角为 θ\theta。

(c) 求 cos⁡θ\cos\theta 的精确值。

(3)

已知点 CC 在 l2l_2 上，且 ACAC 垂直于 l2l_2，

(d) 求 ACAC 的精确长度，答案写成根式。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 B−AB-A 求方向向量，并选已知点作为直线方程的基点。

答题过程

展开

Subtract the coordinates of AA from those of BB. The components are −6−(−10)=4-6-(-10)=4, 4−5=−14-5=-1 and −1−(−4)=3-1-(-4)=3, so

a=AB→=(4−13).\mathbf a=\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}.

Using AA as a point on l1l_1, a vector equation is

r=(−105−4)+λ(4−13).\boxed{ \mathbf r= \begin{pmatrix}-10\\5\\-4\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix} }.

Here λ\lambda is a scalar parameter.

用 BB 作基点或用 −a-\mathbf a 作方向向量也表示同一直线。

(b)

解法一

思路

展开

交点 BB 在 l2l_2 上。先用 xx 分量求参数，再分别代入另外两个分量求 p,qp,q。

答题过程

展开

Since l1l_1 and l2l_2 intersect at BB, the point B(−6,4,−1)B(-6,4,-1) lies on l2l_2.

For l2l_2,

r=(3pq)+μ(3−41)\mathbf{r}= \begin{pmatrix} 3\\ p\\ q \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 1 \end{pmatrix}

Using the xx-coordinate at BB:

3+3μ=−63+3\mu=-6

So

3μ=−93\mu=-9

and hence

μ=−3\mu=-3

Now use the yy-coordinate:

p−4(−3)=4p-4(-3)=4

Thus

p+12=4p+12=4

so

p=−8p=-8

Use the zz-coordinate:

q+(−3)=−1q+(-3)=-1

so

q=2q=2

Therefore

p=−8,q=2\boxed{p=-8,\qquad q=2}

也可以一开始同时列出三条分量方程：

3+3μ= −6p−4μ= 4q+μ= −1.\begin{align*} 3+3\mu=&\,-6\\ p-4\mu=&\,4\\ q+\mu=&\,-1. \end{align*}

这与上述逐项代入是同一联立方程路线。

(c)

解法一

思路

展开

取两条直线的方向向量，以点积和模长求锐角的余弦；锐角用点积的绝对值。

答题过程

展开

A direction vector for l1l_1 is

a=(4−13)\mathbf a= \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}

A direction vector for l2l_2 is

b=(3−41)\mathbf b= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 1 \end{pmatrix}

For the acute angle θ\theta between the two lines,

cos⁡θ=∣a⋅b∣∣a∣∣b∣\cos\theta=\frac{|\mathbf a\cdot\mathbf b|}{|\mathbf a||\mathbf b|}

Now

a⋅b= 4(3)+(−1)(−4)+3(1)= 12+4+3=19.\begin{align*} \mathbf a\cdot\mathbf b =&\,4(3)+(-1)(-4)+3(1)\\ =&\,12+4+3=19. \end{align*}

Also,

∣a∣=42+(−1)2+32=26|\mathbf a|=\sqrt{4^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{26}

and

∣b∣=32+(−4)2+12=26|\mathbf b|=\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{26}

Therefore

cos⁡θ=192626=1926\cos\theta =\frac{19}{\sqrt{26}\sqrt{26}} =\frac{19}{26}

Hence

cos⁡θ=1926\boxed{\cos\theta=\frac{19}{26}}

解法二

思路

展开

在第二条直线上选点 PP，构成三角形 ABPABP。求三边长后用余弦定理，并核对得到的是锐角。

答题过程

展开

Take the point PP one direction-vector step from BB along l2l_2, in the negative direction. Since

b=(3−41),\mathbf b=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix},

this gives

P=(−9,8,−2).P=(-9,8,-2).

The lengths ABAB and BPBP satisfy

AB2=42+(−1)2+32=26,AB^2=4^2+(-1)^2+3^2=26, BP2=(−3)2+42+(−1)2=26.BP^2=(-3)^2+4^2+(-1)^2=26.

Also, AP→\overrightarrow{AP} has components (1,3,2)(1,3,2), so

AP2=12+32+22=14.AP^2=1^2+3^2+2^2=14.

Use the cosine rule at BB:

cos⁡∠ABP=AB2+BP2−AP22 AB BP.\cos\angle ABP =\frac{AB^2+BP^2-AP^2}{2\,AB\,BP}.

Therefore

cos⁡∠ABP= 26+26−1422626= 3852=1926.\begin{align*} \cos\angle ABP =&\,\frac{26+26-14}{2\sqrt{26}\sqrt{26}}\\ =&\,\frac{38}{52}=\frac{19}{26}. \end{align*}

This is positive, so ∠ABP\angle ABP is the acute angle between the lines. Hence

cos⁡θ=1926.\boxed{\cos\theta=\frac{19}{26}}.

(d)

解法一

思路

展开

将垂足写成 B+sbB+s\mathbf b，由 AC→\overrightarrow{AC} 与方向向量的点积为零求参数，再求向量模长。

答题过程

展开

Since BB lies on l2l_2, write BC→=sb\overrightarrow{BC}=s\mathbf b, where

b=(3−41).\mathbf b=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}.

Then

AC→=a+sb.\overrightarrow{AC}=\mathbf a+s\mathbf b.

The perpendicularity condition is

(a+sb)⋅b=0.(\mathbf a+s\mathbf b)\cdot\mathbf b=0.

From part (c), a⋅b=19\mathbf a\cdot\mathbf b=19 and b⋅b=26\mathbf b\cdot\mathbf b=26. Thus

19+26s=0,s=−1926.19+26s=0, \qquad s=-\frac{19}{26}.

Substituting this into AC→\overrightarrow{AC} gives

AC→=126(475059).\overrightarrow{AC} =\frac1{26}\begin{pmatrix}47\\50\\59\end{pmatrix}.

Therefore

AC2= 472+502+592262= 8190676=31526.\begin{align*} AC^2=&\,\frac{47^2+50^2+59^2}{26^2}\\ =&\,\frac{8190}{676}=\frac{315}{26}. \end{align*}

Since 8190=9×9108190=9\times910, the positive length is

AC=391026.\boxed{AC=\frac{3\sqrt{910}}{26}}.

解法二

思路

展开

利用 (c) 的余弦和直角三角形中的 AC=ABsin⁡θAC=AB\sin\theta，求垂直距离，最后取正根并有理化。

答题过程

展开

In right-angled triangle ABCABC, ABAB is the hypotenuse and the acute angle at BB is θ\theta. Hence

AC=ABsin⁡θ.AC=AB\sin\theta.

Since AB=26AB=\sqrt{26} and cos⁡θ=19/26\cos\theta=19/26,

sin⁡2θ=1−(1926)2=315676.\sin^2\theta =1-\bigg(\frac{19}{26}\bigg)^2 =\frac{315}{676}.

Thus

AC2=26×315676=31526.AC^2=26\times\frac{315}{676} =\frac{315}{26}.

Take the positive square root and rationalise:

AC= 315×2626= 391026.\begin{align*} AC=&\,\frac{\sqrt{315\times26}}{26}\\ =&\,\boxed{\frac{3\sqrt{910}}{26}}. \end{align*}

同一投影关系也可写成 BC=ABcos⁡θ=19/26BC=AB\cos\theta=19/\sqrt{26}，再用勾股定理得到 AC2=AB2−BC2=315/26AC^2=AB^2-BC^2=315/26。