题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The curve shown in Figure 1 has equation

y=\frac{4}{x+2}\qquad x>-2

The region $R$ , bounded by the curve, the $y$ -axis, the $x$ -axis and the line with equation $x=8$ is shown shaded in Figure 1.

Region $R$ is rotated through 360 degrees about the $x$ -axis.

Use calculus to find the exact value of the volume of the solid generated, writing your answer in simplest form.

(5)

题目中文翻译

本题必须写出全部解题步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

图 1 所示曲线的方程为

y=\frac{4}{x+2}\qquad x>-2

阴影部分区域 $R$ 由该曲线、 $y$ 轴、 $x$ 轴以及直线 $x=8$ 围成，如图 1 所示。

将区域 $R$ 绕 $x$ 轴旋转 360 度。

用微积分求所生成立体的体积精确值，并将答案写成最简形式。

(5)

解答

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绕 $x$ 轴旋转的体积为 $\pi\int y^2\,\mathrm{d}x$ 。先将 $y^2$ 写成幂函数，积分后代入两个边界，保留精确的 $\pi$ 。

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For rotation about the $x$ -axis,

V=\pi\int_0^8 y^2\,\mathrm{d}x.

Since $y=4/(x+2)$ ,

\begin{align*} y^2=&\,16(x+2)^{-2},\\ V=&\,16\pi\int_0^8(x+2)^{-2}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Integrating gives

\int(x+2)^{-2}\,\mathrm{d}x=-(x+2)^{-1}+C.

Therefore

\begin{align*} V=&\,16\pi\Big[-(x+2)^{-1}\Big]_0^8\\ =&\,16\pi\bigg(-\frac1{10}+\frac12\bigg)\\ =&\,16\pi\cdot\frac25\\ =&\,\boxed{\frac{32\pi}{5}}. \end{align*}

也可令 $u=x+2$ ，上下限变为 $2$ 和 $10$ ，得到 $16\pi\int_2^{10}u^{-2}\,\mathrm{d}u$ ；这只是同一积分的变量改写。