题目

Problem

The curve $C$ has equation

3x+5y^2+4x^2y=10(2^x)+35\qquad y>0

(a) Find an expression for $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ in terms of $x$ and $y$ .

(6)

Curve $C$ cuts the $y$ -axis at the point $P$ .

(b) Find the exact value of the gradient of the tangent to $C$ at $P$ .

(2)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

3x+5y^2+4x^2y=10(2^x)+35\qquad y>0

(a) 用 $x,y$ 表示 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。

(6)

曲线 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ 。

(b) 求曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线斜率的精确值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

隐式求导； $4x^2y$ 用乘积法则， $2^x$ 的导数包含 $\ln2$ 。收集含导数的项后解出导数。

答题过程

展开

Differentiate the equation implicitly with respect to $x$ . For clarity, write $g=\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ .

Term by term,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x)=&\,3,\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5y^2)=&\,10yg,\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(4x^2y)=&\,8xy+4x^2g. \end{align*}

For the exponential term,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(10\cdot2^x\big)=10\cdot2^x\ln2.

Thus

\begin{align*} 3+10yg+8xy+4x^2g=&\,10\cdot2^x\ln2,\\ (10y+4x^2)g=&\,10\cdot2^x\ln2-3-8xy. \end{align*}

Since $y>0$ , the denominator $10y+4x^2$ is positive. Dividing and replacing $g$ gives

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{10\cdot2^x\ln2-3-8xy}{10y+4x^2}.

(b)

解法一

思路

展开

$y$ 轴上 $x=0$ ，由原方程及 $y>0$ 确定交点，再代入 (a) 的导数。

答题过程

展开

At the $y$ -axis, $x=0$ . Substitute into the original equation:

\begin{align*} 5y^2=&\,10\cdot2^0+35\\ =&\,45,\\ y^2=&\,9. \end{align*}

Since $y>0$ , $y=3$ , so $P=(0,3)$ .

At this point, the numerator and denominator of the derivative are

\begin{align*} 10\cdot2^0\ln2-3-8(0)(3)=&\,10\ln2-3,\\ 10(3)+4(0)^2=&\,30. \end{align*}

Hence the exact gradient is

\boxed{\frac{10\ln2-3}{30}}.

P4 2025 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程