题目

Problem

Given that the binomial expansion, in ascending powers of $x$ , of

6(4+Ax)^{-\frac{1}{2}}

B-\frac{1}{4}x+Cx^2+\ldots

(a) find the values of the constants $A$ , $B$ and $C$ .

(5)

(b) State the range of values of $x$ for which this expansion is valid.

(1)

For the expansion,

(2)

题目中文翻译

已知

6(4+Ax)^{-\frac{1}{2}}

按 $x$ 的升幂展开的二项式展开式为

B-\frac{1}{4}x+Cx^2+\ldots

(a) 求常数 $A,B,C$ 的值。

(5)

(b) 写出该展开成立时 $x$ 的取值范围。

(1)

对于这个展开式，

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先提出 $4$ ，再展开标准形式 $(1+u)^{-1/2}$ ，逐项比较常数项、 $x$ 与 $x^2$ 的系数。

答题过程

展开

Let $u=Ax/4$ . Factor out $4$ :

\begin{align*} 4+Ax=&\,4(1+u),\\ 6\cdot4^{-1/2}=&\,3. \end{align*}

Thus $6(4+Ax)^{-1/2}=3(1+u)^{-1/2}$ .

The binomial expansion is

(1+u)^{-1/2}=1-\frac12u+\frac38u^2+\cdots,

because

\frac{(-1/2)(-3/2)}{2}=\frac38.

Taking $u=Ax/4$ gives

\begin{align*} &\,6(4+Ax)^{-1/2}\\ =&\,3-\frac{3A}{8}x+\frac{9A^2}{128}x^2+\cdots. \end{align*}

Comparing with $B-\frac14x+Cx^2+\cdots$ , the constant term gives $B=3$ .

The coefficient of $x$ gives

\begin{align*} -\frac{3A}{8}=&\,-\frac14,\\ 3A=&\,2,\\ A=&\,\frac23. \end{align*}

The coefficient of $x^2$ gives

\begin{align*} C=&\,\frac{9A^2}{128}\\ =&\,\frac{9\cdot4}{128\cdot9}\\ =&\,\frac1{32}. \end{align*}

Therefore $A=2/3$ , $B=3$ and $C=1/32$ .

直接对 $4+Ax$ 使用二项式公式，也得到相同的常数项与系数 $-3A/8$ 、 $9A^2/128$ ，不必重复展开。

(b)

解法一

思路

展开

标准展开要求 $|u|<1$ ，代入 (a) 的 $A$ 后解出 $x$ 的范围。

答题过程

展开

The binomial expansion requires $|Ax/4|<1$ . Since $A=2/3$ ,

\begin{align*} \bigg|\frac x6\bigg|<&\,1,\\ |x|<&\,6. \end{align*}

Hence the range is

\boxed{-6<x<6}.

(c)

解法一

思路

展开

计算标准展开的三次项系数，再乘整体因子 $3$ 和代换产生的 $(1/6)^3$ 。

答题过程

展开

For $(1+u)^{-1/2}$ , the coefficient of $u^3$ is

\frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{3!}=-\frac5{16}.

The expression has an overall factor of $3$ , so the coefficient of $u^3$ is $-15/16$ . From (a), $u=x/6$ , hence $u^3=x^3/216$ . Thus the coefficient of $x^3$ is

\begin{align*} &\,-\frac{15}{16\cdot216}\\ =&\,\boxed{-\frac5{1152}}. \end{align*}

P4 2025 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程