相对于固定原点 $O$，直线 $l$ 的方程为

其中 $\lambda$ 是标量参数。

点 $A$ 与点 $B$ 都在线 $l$ 上。

已知

• $A$ 的坐标为 $(-2,a,4)$；
• $B$ 的坐标为 $(b,3,1)$。

(a) 求常数 $a$ 与常数 $b$ 的值。

(b) 进而求向量 $\overrightarrow{AB}$。

点 $C$ 的坐标为 $(4,7,-2)$。

(c) 求角 $CAB$ 的大小，答案用度数表示并保留到 1 位小数。

点 $D$ 在线 $l$ 上，并且三角形 $CAD$ 的面积是三角形 $CAB$ 面积的两倍。

(d) 求点 $D$ 的两个可能位置的坐标。

将直线参数方程写为坐标形式，分别用 $A$ 的 $x$ 坐标与 $B$ 的 $y$ 坐标求参数，再求未知坐标。

The line is

So a general point on the line has coordinates

For

use the $x$ coordinate:

so

Then

For

use the $y$ coordinate:

so

Then

Therefore

承接 (a) 得到的 $A,B$，用终点位置向量减起点位置向量。

From (a), $A=(-2,-3,4)$ and $B=(10,3,1)$. Hence

Subtract the components:

Therefore

角顶点在 $A$，使用 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的点积及长度求夹角。

Angle $CAB$ is the angle between $\overrightarrow{AC}$ and $\overrightarrow{AB}$.

Since $C=(4,7,-2)$ and $A=(-2,-3,4)$,

From (b), $\overrightarrow{AB}=(12,6,-3)^\mathsf{T}$, so

The squared lengths are

Using the scalar product formula,

Thus $\angle CAB=33.7006\ldots^\circ$, which gives

to one decimal place.

计算三边长度的平方，使用余弦定理求顶点 $A$ 的夹角。

The points are $A=(-2,-3,4)$, $B=(10,3,1)$ and $C=(4,7,-2)$. Their difference vectors are

Hence

Write $\theta=\angle CAB$. By the cosine rule,

Substitute the lengths:

Thus $\theta=33.7^\circ$ to one decimal place.

两三角形以同一直线上的线段为底，高相同，因此面积比等于底长比。$D$ 可在 $A$ 两侧，要保留两种参数差。

Since $A$, $B$ and $D$ lie on the same line, the height from $C$ to the line is the same for triangles $CAB$ and $CAD$.

So the area ratio is the same as the base length ratio:

We are told

Therefore

On the line, $A$ corresponds to

and $B$ corresponds to

So the parameter difference from $A$ to $B$ is

For $AD=2AB$, the parameter difference from $A$ to $D$ must be

Thus

or

When $\lambda=5$,

so

When $\lambda=-7$,

so

Therefore the two possible positions of $D$ are

也可用长度方程核验。写方向向量 $\mathbf v=(4,2,-1)^\mathsf{T}$，则 $\overrightarrow{AD}=(\lambda+1)\mathbf v$，而 $|\mathbf v|^2=21$。由 $AD=2AB$，

这也对应 $\overrightarrow{AD}=\pm2\overrightarrow{AB}$；从 $A$、$B$ 或直线给定基点起算只是同一关系的改写。