离散随机变量 $X$ 的概率分布如表所示。

(a) 求 $E(X)$。

已知 $E(X^2)=4.54$。

(b) 求 $a$ 与 $b$。

随机变量 $Y=3-2X$。

(c) 求 $\operatorname{Var}(Y)$。

直接用期望公式，$-a$ 和 $+a$ 会抵消。

So

先用 $E(X^2)=4.54$ 求 $a$，再用概率总和为 1 求 $b$。

Thus

Given $E(X^2)=4.54$,

So

The probabilities sum to 1:

Therefore

先求 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，再用 $\operatorname{Var}(3-2X)=4\operatorname{Var}(X)$。

Since $Y=3-2X$,

Therefore

变量分布直接计算法（直接求 $Y$ 的分布）。 对于随机变量的线性变换 $Y = 3 - 2X$，除了套用方差线性性质公式 $\operatorname{Var}(aX+b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ 之外，我们也可以直接建立 $Y$ 的概率分布表，并直接计算其方差：

• 根据 $X$ 的取值 $x_i = -2, -1, 0, 1, 3$，对应的 $Y$ 取值为 $y_i = 3 - 2x_i$，即 $7, 5, 3, 1, -3$；
• 对应的概率保持不变。 由此得到 $Y$ 的概率分布表后，可以直接套用期望和方差公式算得结果。这种方法更为直观，特别适合在想验证线性性质公式的正确性，或者题目要求列出新变量分布的情况下使用。

Find the probability distribution of $Y = 3 - 2X$:

• For $x = -2$: $y = 3 - 2(-2) = 7$, with $P(Y = 7) = 0.15$
• For $x = -1$: $y = 3 - 2(-1) = 5$, with $P(Y = 5) = a = 0.17$
• For $x = 0$: $y = 3 - 2(0) = 3$, with $P(Y = 3) = b = 0.11$
• For $x = 1$: $y = 3 - 2(1) = 1$, with $P(Y = 1) = a = 0.17$
• For $x = 3$: $y = 3 - 2(3) = -3$, with $P(Y = -3) = 0.40$

Thus, the probability distribution of $Y$ is:

Calculate the expectation $\operatorname{E}(Y)$:

Calculate the expectation of $Y^2$, $\operatorname{E}(Y^2)$:

Therefore: