某住宅区共有 320 栋房屋。随机选取其中一栋。事件 $D$ 表示“房屋有车道”，$X$ 表示“该户没有汽车”，$Y$ 表示“该户恰有 1 辆汽车”，$Z$ 表示“该户恰有 2 辆汽车”。Venn 图给出了各区域的户数。

(a) 求：(i) $P(D)$；(ii) $P(D\cap X')$；(iii) $P(D'\cup Z')$。

已知该房屋有车道。

(b) 求该户恰有 2 辆汽车的概率。

(c) 从事件 $D$、$X$、$Y$、$Z$ 中写出两个互斥事件。

(d) 判断事件 $D$ 与 $X$ 是否独立，并说明理由。

(e) 结合本题情境定义事件：(i) $D'\cap Z$；(ii) $D\cap(X\cup Y)$。

把事件 $D$ 内的各区域相加，再除以总户数 320。

From the diagram,

把 $D$ 内且不属于 $X$ 的区域相加。

使用补集关系 $(D'\cup Z')'=D\cap Z$。

Using the complement,

Since $n(D\cap Z)=88$,

已知有 driveway，所以分母是 $D$ 中的 200 户；其中 exactly 2 cars 是 $D\cap Z$ 的 88 户。

没有车、1 辆车、2 辆车这些事件彼此不能同时发生。

$X$ and $Y$ are mutually exclusive.

可以比较 $P(D\mid X)$ 与 $P(D)$。如果相等，则独立。

From the diagram,

Also,

Since

the events $D$ and $X$ are independent.

$D'$ 表示没有车道，$Z$ 表示恰有 2 辆汽车；交集表示两者同时发生。

$D'\cap Z$ means:

The house does not have a driveway and has exactly 2 cars.

$X\cup Y$ 表示没有汽车或恰有 1 辆汽车，也就是少于 2 辆汽车；再与有车道的事件 $D$ 取交集。

$D\cap(X\cup Y)$ means:

The house has a driveway and has fewer than 2 cars.