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S1 2020 Jan Q5

A Level / Edexcel / S1

IAL 2020 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

The random variable XX has a normal distribution with mean 10 and standard deviation 6

(a) Find P(X<7)P(X<7)

(3)

(b) Find the value of kk such that

P(10−k<X<10+k)=0.60P(10-k<X<10+k)=0.60
(3)

A single observation xx, of XX, is to be taken.

A rectangle is drawn on a centimetre grid with vertices having coordinates (0,0)(0,0), (x,0)(x,0), (x,x−3)(x,x-3) and (0,x−3)(0,x-3)

(c) Find the probability that the area of this rectangle is more than 40 cm240\text{ cm}^2

(8)
题目中文翻译

随机变量 XX 服从均值为 10、标准差为 6 的正态分布。

(a) 求 P(X<7)P(X<7)。

(b) 求 kk 的值，使得

P(10−k<X<10+k)=0.60.P(10-k<X<10+k)=0.60.

现从 XX 中取得一个观测值 xx。在厘米方格纸上画一个矩形，其四个顶点的坐标为 (0,0)(0,0)、(x,0)(x,0)、(x,x−3)(x,x-3) 和 (0,x−3)(0,x-3)。

(c) 求该矩形面积大于 40 cm240\text{ cm}^2 的概率。

解答

(a)

解法一

思路

展开

标准化 77，它比平均数小，所以是左尾概率。

答题过程

展开 P(X<7)=P(Z<7−106)=P(Z<−0.5).\begin{align*} P(X<7)=P\left(Z<\frac{7-10}{6}\right)=P(Z<-0.5). \end{align*}

Using symmetry,

P(Z<−0.5)=1−P(Z<0.5).\begin{align*} P(Z<-0.5)=1-P(Z<0.5). \end{align*}

Therefore

P(X<7)=1−0.6915=0.3085.\begin{align*} P(X<7)=1-0.6915=0.3085. \end{align*}

So

P(X<7)=0.309to 3 significant figures.\begin{align*} P(X<7)=0.309\quad\text{to 3 significant figures}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

区间以均值 10 为中心，中间面积是 0.60，所以两侧尾部各 0.20；右端点对应 Φ(z)=0.80\Phi(z)=0.80，即 z=0.8416z=0.8416。

答题过程

展开

Since

P(10−k<X<10+k)=0.60,\begin{align*} P(10-k<X<10+k)=0.60, \end{align*}

we need

P(X<10+k)=0.80.\begin{align*} P(X<10+k)=0.80. \end{align*}

So

10+k−106=0.8416.\begin{align*} \frac{10+k-10}{6}=0.8416. \end{align*}

Therefore

k=6(0.8416)=5.0496.\begin{align*} k=6(0.8416)=5.0496. \end{align*}

Hence

k=5.05.\begin{align*} k=5.05. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

矩形宽是 xx，高是 x−3x-3，面积是 x(x−3)x(x-3)。先解不等式 x(x−3)>40x(x-3)>40，再转化为 normal probability。

答题过程

展开

The area of the rectangle is

x(x−3).\begin{align*} x(x-3). \end{align*}

We need

x(x−3)>40.\begin{align*} x(x-3)>40. \end{align*}

So

x2−3x−40>0.\begin{align*} x^2-3x-40>0. \end{align*}

Factorising,

(x−8)(x+5)>0.\begin{align*} (x-8)(x+5)>0. \end{align*}

Therefore

x>8orx<−5.\begin{align*} x>8\quad\text{or}\quad x<-5. \end{align*}

Hence

P(area>40)=P(X>8)+P(X<−5).\begin{align*} P(\text{area}>40)=P(X>8)+P(X<-5). \end{align*}

Now

P(X>8)=P(Z>8−106)=P(Z>−0.333…),\begin{align*} P(X>8)=P\left(Z>\frac{8-10}{6}\right)=P(Z>-0.333\ldots), \end{align*}

and

P(X<−5)=P(Z<−5−106)=P(Z<−2.5).\begin{align*} P(X<-5)=P\left(Z<\frac{-5-10}{6}\right)=P(Z<-2.5). \end{align*}

So

P(area>40)= P(Z>−0.333…)+P(Z<−2.5)= 0.6293+0.0062= 0.6355.\begin{align*} P(\text{area}>40) =&\,P(Z>-0.333\ldots)+P(Z<-2.5)\\ =&\,0.6293+0.0062\\ =&\,0.6355. \end{align*}

Therefore the probability is approximately

0.636.\begin{align*} 0.636. \end{align*}