一家大型公司在全国不同地区租赁商店。现随机抽取 10 家商店，记录其楼面面积 $x$（单位为 $10\,\mathrm{m}^2$）及年租金 $y$（单位为千美元）。

数据汇总如下：

且 $y$ 对 $x$ 的回归直线方程为 $y=6.066+0.136x$。

(a) 用该回归直线估计楼面面积为 $800\,\mathrm{m}^2$ 的商店每年应付的租金（以美元为单位）。

(b) 求 $S_{yy}$ 与 $S_{xx}$。

(c) 求 $y$ 与 $x$ 的积矩相关系数。

在样本中加入第 11 家商店。其楼面面积为 $900\,\mathrm{m}^2$，年租金为 15 000 美元。

(d) 使用公式 $S_{xy}=\sum(x-\bar x)(y-\bar y)$，证明 11 家商店的 $S_{xy}$ 与原来 10 家商店的 $S_{xy}$ 相同。

(e) 求 11 家商店的新回归直线方程（$y$ 对 $x$）。

公司正在考虑租赁一家面积为 $3000\,\mathrm{m}^2$ 的较大商店。

(f) 评论使用新回归直线估计年租金是否合适，并说明理由。

$x$ 的单位是 $10\,\mathrm{m}^2$，所以 $800\,\mathrm{m}^2$ 对应 $x=80$。代入后 $y$ 的单位是 thousands of dollars。

For a floor area of $800\,\mathrm{m}^2$,

Using the regression line,

Since $y$ is in thousands of dollars, the estimated annual rent is

分别使用 $S_{yy}=\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}$ 和 $S_{xx}=\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}$。

Also,

回归线 $y$ on $x$ 的斜率 $b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$，先求 $S_{xy}$，再求相关系数。

For the regression line of $y$ on $x$,

Hence

Now

Therefore

原本 $\bar x=\frac{900}{10}=90$。新 shop 的 $x$ 也是 90，所以加入后新的 $\bar x$ 仍是 90。新增项中的 $x-\bar x=0$，对 $S_{xy}$ 没有贡献。

For the original 10 shops,

For the 11 shops,

The new shop has $x=90$, so its contribution to

is

Therefore $S_{xy}$ is unchanged.

计算简化公式法。 除了使用 $S_{xy}$ 的定义式进行证明外，我们也可以使用其计算简化公式：

我们可以对比原 10 个商店与加入第 11 个商店后新系统的这三部分变化：

• 对于 10 个商店：$n=10$，$\sum x=900$，$\sum y=183$，因此 $S_{xy} = \sum xy_{10} - \frac{900 \times 183}{10} = \sum xy_{10} - 16470$。
• 对于 11 个商店：新加入的数据为 $x_{11}=90$，$y_{11}=15$（注意年租金 15 000 美元对应 $y=15$）。 新样本数 $n'=11$，$\sum x' = 900+90 = 990$，$\sum y' = 183+15 = 198$，新乘积和 $\sum xy_{11} = \sum xy_{10} + 90 \times 15 = \sum xy_{10} + 1350$。 将上述数值代入 11 个商店的 $S_{xy}$ 简化公式中展开计算，即可证明新旧 $S_{xy}$ 恒等。许多同学更习惯使用计算简化公式，此方法提供了一个完全可行且严密的代数证明视角。

Use the computational formula for $S_{xy}$:

For the original $10$ shops:

• $n = 10$
• $\sum x = 900$
• $\sum y = 183$

Let $\sum xy_{10}$ be the sum of products for the original $10$ shops. The original $S_{xy}$ is:

For the $11$ shops, the new shop has $x_{11} = 90$ and $y_{11} = 15$ (since rent is in thousands of dollars). The new summary statistics are:

• $n' = 11$
• $\sum x' = 900 + 90 = 990$
• $\sum y' = 183 + 15 = 198$
• $\sum xy_{11} = \sum xy_{10} + 90 \times 15 = \sum xy_{10} + 1350$

The new $S_{xy}$ is:

Since $S_{xy,\text{new}} = S_{xy,\text{old}}$, the value of $S_{xy}$ remains unchanged.

由于 $S_{xy}$ 不变，且新 shop 的 $x$ 等于平均 $x$，$S_{xx}$ 也不变，所以斜率仍是 0.136。新的 $\bar y$ 用 11 个 shops 计算。

The gradient remains

The new mean of $y$ is

The new mean of $x$ is still

The new mean of $y$ is $0.3$ less than the original mean of $y$, while $\bar x$ and the gradient are unchanged.

So the intercept is also $0.3$ less than before:

Therefore the new regression line is

$3000\,\mathrm{m}^2$ 对应 $x=300$，远大于样本平均 $x=90$，属于外推，因此不适合。

For a floor area of $3000\,\mathrm{m}^2$,

This is far outside the range of the data, compared with the mean value $\bar x=90$.

Therefore using the regression line is not suitable, because it would involve extrapolation.