题目

Problem

In the Venn diagram below, $A$ , $B$ and $C$ are events and $p$ , $q$ , $r$ and $s$ are probabilities. The events $A$ and $C$ are independent and $P(A)=0.65$

(a) State which two of the events $A$ , $B$ and $C$ are mutually exclusive.

(1)

(b) Find the value of $r$ and the value of $s$ .

(5)

The events $(A\cap C')$ and $(B\cup C)$ are also independent.

(6)

题目中文翻译

在下方的维恩图中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是事件， $p$ 、 $q$ 、 $r$ 、 $s$ 是概率。

事件 $A$ 与 $C$ 相互独立，并且 $P(A)=0.65$ 。

(a) 指出事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中哪两个事件互斥。

(b) 求 $r$ 与 $s$ 的值。

事件 $(A\cap C')$ 与 $(B\cup C)$ 也相互独立。

解答

(a)

解法一

思路

展开

互斥表示两个事件没有重叠区域。从图中看， $B$ 和 $C$ 没有共同部分。

答题过程

展开

$B$ and $C$ are mutually exclusive.

(b)

解法一

思路

展开

图中 $A\cap C$ 的概率是 $0.13$ 。由于 $A$ 和 $C$ 独立， $P(A\cap C)=P(A)P(C)$ ，可以先求出 $P(C)$ ，再求 $r$ 。最后用全部概率加起来等于 1 求 $s$ 。

答题过程

展开

Since $A$ and $C$ are independent,

\begin{align*} P(A\cap C)=P(A)P(C). \end{align*}

Hence

\begin{align*} 0.13=0.65P(C), \end{align*}

\begin{align*} P(C)=\frac{0.13}{0.65}=0.2. \end{align*}

From the diagram,

\begin{align*} P(C)=r+0.13, \end{align*}

\begin{align*} r=0.2-0.13=0.07. \end{align*}

Also,

\begin{align*} P(A)+r+s=1. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} 0.65+0.07+s=1, \end{align*}

and

\begin{align*} s=0.28. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先把两个独立事件的概率写出来。 $A\cap C'$ 就是 $A$ 中不在 $C$ 的部分，即 $p+q$ 。由于 $P(A)=0.65$ ，而 $A\cap C=0.13$ ，所以 $p+q=0.52$ 。然后用独立性建立方程。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} P(A)=p+q+0.13=0.65, \end{align*}

we have

\begin{align*} p+q=0.52. \end{align*}

Also,

\begin{align*} P(B\cup C)=q+r+0.13=q+0.07+0.13=q+0.2. \end{align*}

The intersection of $(A\cap C')$ and $(B\cup C)$ is the region $q$ , so

\begin{align*} P\bigl((A\cap C')\cap(B\cup C)\bigr)=q. \end{align*}

Using independence,

\begin{align*} P(A\cap C')P(B\cup C)=q. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} 0.52(q+0.2)=q. \end{align*}

\begin{align*} 0.52q+0.104=q, \end{align*}

and

\begin{align*} 0.48q=0.104. \end{align*}

Hence

\begin{align*} q=\frac{0.104}{0.48}=\frac{13}{60}. \end{align*}

Since $p+q=0.52=\frac{13}{25}$ ,

p=\frac{13}{25}-\frac{13}{60} =\frac{156}{300}-\frac{65}{300} =\frac{91}{300}.

S1 2021 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程