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S1 2021 June Q5

A Level / Edexcel / S1

IAL 2021 June Paper · Question 5

题目

Problem

The discrete random variable XX has the following probability distribution

xx−2-2−1-1001144
P(X=x)P(X=x)aabbccbbaa

Given that E(X)=0.5E(X)=0.5

(a) find the value of aa.

(2)

Given also that Var⁡(X)=5.01\operatorname{Var}(X)=5.01

(b) find the value of bb and the value of cc.

(5)

The random variable Y=5−8XY=5-8X

(c) Find

(i) E(Y)E(Y)

(ii) Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)

(3)

(d) Find P(4X2>Y)P(4X^2>Y)

(5)
题目中文翻译

离散随机变量 XX 的概率分布如下。

xx−2-2−1-1001144
P(X=x)P(X=x)aabbccbbaa

已知 E(X)=0.5E(X)=0.5。

(a) 求 aa 的值。

又已知 Var⁡(X)=5.01\operatorname{Var}(X)=5.01。

(b) 求 bb 与 cc 的值。

随机变量 Y=5−8XY=5-8X。

(c) 求：

(i) E(Y)E(Y)；

(ii) Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)。

(d) 求 P(4X2>Y)P(4X^2>Y)。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接用期望公式。注意 −b-b 和 +b+b 会抵消。

答题过程

展开 E(X)=(−2)a+(−1)b+0c+1b+4a.\begin{align*} E(X)=(-2)a+(-1)b+0c+1b+4a. \end{align*}

So

E(X)=2a.\begin{align*} E(X)=2a. \end{align*}

Given that E(X)=0.5E(X)=0.5,

2a=0.5.\begin{align*} 2a=0.5. \end{align*}

Therefore

a=0.25.\begin{align*} a=0.25. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先用 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 求 bb。再用总概率为 1 求 cc。

答题过程

展开

First,

E(X2)= (−2)2a+(−1)2b+02c+12b+42a= 20a+2b.\begin{align*} E(X^2) =&\,(-2)^2a+(-1)^2b+0^2c+1^2b+4^2a\\ =&\,20a+2b. \end{align*}

Using a=0.25a=0.25,

E(X2)=20(0.25)+2b=5+2b.\begin{align*} E(X^2)=20(0.25)+2b=5+2b. \end{align*}

Since Var⁡(X)=5.01\operatorname{Var}(X)=5.01,

5.01=(5+2b)−(0.5)2.\begin{align*} 5.01=(5+2b)-(0.5)^2. \end{align*}

So

5.01=4.75+2b.\begin{align*} 5.01=4.75+2b. \end{align*}

Hence

2b=0.26,\begin{align*} 2b=0.26, \end{align*}

and

b=0.13.\begin{align*} b=0.13. \end{align*}

The probabilities sum to 1, so

2a+2b+c=1.\begin{align*} 2a+2b+c=1. \end{align*}

Therefore

2(0.25)+2(0.13)+c=1,\begin{align*} 2(0.25)+2(0.13)+c=1, \end{align*}

giving

c=0.24.\begin{align*} c=0.24. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

线性变换的期望和方差分别使用 E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b，Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)。

答题过程

展开

For Y=5−8XY=5-8X,

E(Y)=5−8E(X).\begin{align*} E(Y)=5-8E(X). \end{align*}

Thus

E(Y)=5−8(0.5)=1.\begin{align*} E(Y)=5-8(0.5)=1. \end{align*}

Also,

Var⁡(Y)=(−8)2Var⁡(X).\begin{align*} \operatorname{Var}(Y)=(-8)^2\operatorname{Var}(X). \end{align*}

Therefore

Var⁡(Y)=64(5.01)=320.64.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y)=64(5.01)=320.64. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

把 Y=5−8XY=5-8X 代入二次不等式并因式分解，再结合 XX 的离散取值判断哪些值满足条件。

答题过程

展开

Since Y=5−8XY=5-8X,

4X2> 5−8X.\begin{align*} 4X^2>&\,5-8X. \end{align*}

Rearranging,

4X2+8X−5> 0.\begin{align*} 4X^2+8X-5>&\,0. \end{align*}

Factorising,

(2X−1)(2X+5)> 0.\begin{align*} (2X-1)(2X+5)>&\,0. \end{align*}

Therefore X<−52X< -\frac52 or X>12X>\frac12. From the possible values of XX, only X=1X=1 and X=4X=4 satisfy the inequality.

Therefore

P(4X2>Y)=P(X=1)+P(X=4)=b+a.\begin{align*} P(4X^2>Y)=P(X=1)+P(X=4)=b+a. \end{align*}

Using a=0.25a=0.25 and b=0.13b=0.13,

P(4X2>Y)=0.13+0.25=0.38.\begin{align*} P(4X^2>Y)=0.13+0.25=0.38. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接列出 XX 的可能值逐个检查。离散型随机变量有时这样更稳，因为只需要检查表中的五个值。

答题过程

展开

For each possible value of XX,

Y=5−8X.\begin{align*} Y=5-8X. \end{align*}

Checking the possible values:

X−2−1014Y21135−3−274X21640464\begin{array}{c|ccccc} X & -2 & -1 & 0 & 1 & 4\\ \hline Y & 21 & 13 & 5 & -3 & -27\\ 4X^2 & 16 & 4 & 0 & 4 & 64\\ \end{array}

The inequality 4X2>Y4X^2>Y is true when X=1X=1 or X=4X=4.

Therefore

P(4X2>Y)=P(X=1)+P(X=4)=b+a=0.13+0.25=0.38.\begin{align*} P(4X^2>Y)=P(X=1)+P(X=4)=b+a=0.13+0.25=0.38. \end{align*}