维恩图表示事件 $A$、$B$ 和 $C$ 及其对应的概率，其中 $p$ 和 $q$ 为概率。

(a) 求 $P(B)$。

(b) 判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立。

已知 $P(C\mid B)=P(C)$。

(c) 求 $p$ 和 $q$ 的值。

事件 $D$ 满足：

• $A$ 与 $D$ 互斥；
• $P(B\cap D)>0$。

(d) 在维恩图上画出事件 $D$ 的一个可能位置。

先用全概率为 $1$ 得 $p+q=0.2$，再把 $B$ 中的区域加起来。

Since the total probability is $1$,

Therefore

检验独立性用 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。

From the diagram,

Also,

But

Since

$A$ and $B$ are not independent.

改用条件概率判定：若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(A\mid B)=P(A)$。

From the Venn diagram,

Therefore

Since $P(A\mid B)=0.4\ne0.3=P(A)$, $A$ and $B$ are not independent.

$P(C\mid B)=P(C)$ 表示用条件概率列方程。图中 $B\cap C$ 的区域是 $p$，而 $C$ 的概率是 $p+0.06$。

Using $P(C\mid B)=P(C)$,

So

Hence

Since $p+q=0.2$,

$D$ 不能与 $A$ 重叠，但要与 $B$ 有交集，所以可以把 $D$ 画在 $B$ 的右侧、避开 $A$ 的位置。

Draw $D$ so that it overlaps $B$ but does not overlap $A$.