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S1 2021 Oct Q5

A Level / Edexcel / S1

IAL 2021 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

The discrete random variable YY has the following probability distribution

y−9−5059P(Y=y)qrurq\begin{array}{c|ccccc} y&-9&-5&0&5&9\\ \hline P(Y=y)&q&r&u&r&q \end{array}

where qq, rr and uu are probabilities.

(a) Write down the value of E⁡(Y)\operatorname{E}(Y)

(1)

The cumulative distribution function of YY is F(y)F(y)

Given that F(0)=1930F(0)=\dfrac{19}{30}

(b) show that the value of uu is 415\dfrac{4}{15}

(3)

Given also that Var⁡(Y)=37\operatorname{Var}(Y)=37

(c) find the value of qq and the value of rr

(4)

The coordinates of a point PP are (12,Y)(12,Y) The random variable DD represents the length of OPOP

(d) Find the probability distribution of DD

(6)
题目中文翻译

离散随机变量 YY 的概率分布如下：

y−9−5059P(Y=y)qrurq\begin{array}{c|ccccc} y&-9&-5&0&5&9\\ \hline P(Y=y)&q&r&u&r&q \end{array}

其中 qq、rr 和 uu 为概率。

(a) 写出 E⁡(Y)\operatorname{E}(Y) 的值。

YY 的累积分布函数为 F(y)F(y)。已知 F(0)=1930F(0)=\dfrac{19}{30}。

(b) 证明 u=415u=\dfrac{4}{15}。

另已知 Var⁡(Y)=37\operatorname{Var}(Y)=37。

(c) 求 qq 和 rr 的值。

点 PP 的坐标为 (12,Y)(12,Y)，随机变量 DD 表示 OPOP 的长度。

(d) 求 DD 的概率分布。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分布关于 00 对称，所以期望为 00。

答题过程

展开 E⁡(Y)=0.\begin{align*} \operatorname{E}(Y)=0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

F(0)=P(Y⩽0)=q+r+uF(0)=P(Y\leqslant0)=q+r+u。总概率给出 2(q+r)+u=12(q+r)+u=1。联立即可求 uu。

答题过程

展开

From F(0)=1930F(0)=\dfrac{19}{30},

q+r+u=1930.\begin{align*} q+r+u=\frac{19}{30}. \end{align*}

Also, the total probability is 11, so

2(q+r)+u=1.\begin{align*} 2(q+r)+u=1. \end{align*}

Using q+r=1930−uq+r=\dfrac{19}{30}-u,

2(1930−u)+u=1.\begin{align*} 2\left(\frac{19}{30}-u\right)+u=1. \end{align*}

Hence

3830−u=1,\begin{align*} \frac{38}{30}-u=1, \end{align*}

so

u=830=415.\begin{align*} u=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

因为 E⁡(Y)=0\operatorname{E}(Y)=0，所以 Var⁡(Y)=E⁡(Y2)\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}(Y^2)。再与 q+r=1130q+r=\dfrac{11}{30} 联立。

答题过程

展开

Since

u=415,\begin{align*} u=\frac{4}{15}, \end{align*}

we have

q+r=1−u2=1130.\begin{align*} q+r=\frac{1-u}{2}=\frac{11}{30}. \end{align*}

Also,

Var⁡(Y)= E⁡(Y2)= 81q+25r+0u+25r+81q= 162q+50r.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\operatorname{E}(Y^2)\\ =&\,81q+25r+0u+25r+81q\\ =&\,162q+50r. \end{align*}

Given that Var⁡(Y)=37\operatorname{Var}(Y)=37,

162q+50r=37.\begin{align*} 162q+50r=37. \end{align*}

Using r=1130−qr=\dfrac{11}{30}-q,

162q+50(1130−q)=37.\begin{align*} 162q+50\left(\frac{11}{30}-q\right)=37. \end{align*}

So

112q=553.\begin{align*} 112q=\frac{55}{3}. \end{align*}

Therefore

q=16.\begin{align*} q=\frac{1}{6}. \end{align*}

Then

r=1130−16=15.\begin{align*} r=\frac{11}{30}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

点 P=(12,Y)P=(12,Y)，所以 D=122+Y2D=\sqrt{12^2+Y^2}。当 Y=0,±5,±9Y=0,\pm5,\pm9 时，DD 分别为 12,13,1512,13,15。

答题过程

展开 D=122+Y2.\begin{align*} D=\sqrt{12^2+Y^2}. \end{align*}

If Y=0Y=0,

D=12.\begin{align*} D=12. \end{align*}

If Y=±5Y=\pm5,

D=122+52=13.\begin{align*} D=\sqrt{12^2+5^2}=13. \end{align*}

If Y=±9Y=\pm9,

D=122+92=15.\begin{align*} D=\sqrt{12^2+9^2}=15. \end{align*}

Therefore the probability distribution of DD is

d121315P(D=d)4152513\begin{array}{c|ccc} d&12&13&15\\ \hline P(D=d)&\frac{4}{15}&\frac{2}{5}&\frac{1}{3} \end{array}