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S1 2022 Jan Q1

A Level / Edexcel / S1

IAL 2022 Jan Paper · Question 1

题目

Problem

A factory produces shoes. A quality control inspector at the factory checks a sample of 120120 shoes for each of three types of defect. The Venn diagram represents the inspector’s results.

AA represents the event that a shoe has defective stitching

BB represents the event that a shoe has defective colouring

CC represents the event that a shoe has defective soles

One of the shoes in the sample is selected at random.

(a) Find the probability that it does not have defective soles.

(1)

(b) Find P(A∩B∩C′)P(A\cap B\cap C')

(1)

(c) Find P(A∪B∪C′)P(A\cup B\cup C')

(2)

(d) Find the probability that the shoe has at most one type of defect.

(2)

(e) Given the selected shoe has at most one type of defect, find the probability it has defective stitching.

(2)

The random variable XX is the number of the events AA, BB, CC that occur for a randomly selected shoe.

(f) Find E⁡(X)\operatorname{E}(X)

(3)

题目中文翻译

一家工厂生产鞋子。工厂的质量检验员检查一个由 120120 只鞋组成的样本，判断每只鞋是否有三类缺陷。维恩图表示检验结果。

AA 表示鞋子缝线有缺陷；BB 表示鞋子着色有缺陷；CC 表示鞋底有缺陷。

从样本中随机选取一只鞋。

(a) 求它没有鞋底缺陷的概率。

(b) 求 P(A∩B∩C′)P(A\cap B\cap C')。

(c) 求 P(A∪B∪C′)P(A\cup B\cup C')。

(d) 求这只鞋至多有一种缺陷的概率。

(e) 已知所选鞋至多有一种缺陷，求它有缝线缺陷的概率。

随机变量 XX 表示随机选取的一只鞋所发生的事件 AA、BB、CC 的个数。

(f) 求 E⁡(X)\operatorname{E}(X)。

解答

(a)

解法一

思路

展开

不在 CC 中的鞋共有 103103 只，总数是 120120。

答题过程

展开 P(C′)=103120.\begin{align*} P(C')=\frac{103}{120}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

A∩B∩C′A\cap B\cap C' 是 AA 和 BB 的重叠但不在 CC 中的区域，图中该区域为 00。

答题过程

展开 P(A∩B∩C′)=0.\begin{align*} P(A\cap B\cap C')=0. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

A∪B∪C′A\cup B\cup C' 的补集是 A′∩B′∩CA' \cap B' \cap C，也就是只在 CC 中的 77 只鞋。

答题过程

展开 P(A∪B∪C′)= 1−7120= 113120.\begin{align*} P(A\cup B\cup C') =&\,1-\frac{7}{120}\\ =&\,\frac{113}{120}. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接把属于 A∪B∪C′A\cup B\cup C' 的区域相加。

答题过程

展开 P(A∪B∪C′)= 9+3+2+5+1+93120= 113120.\begin{align*} P(A\cup B\cup C') =&\,\frac{9+3+2+5+1+93}{120}\\ =&\,\frac{113}{120}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

“至多一种 defect” 包含没有 defect 和恰好一种 defect 的区域。

答题过程

展开 P(at most one type of defect)= 93+9+1+7120= 110120= 1112.\begin{align*} P(\text{at most one type of defect}) =&\,\frac{93+9+1+7}{120}\\ =&\,\frac{110}{120}\\ =&\,\frac{11}{12}. \end{align*}

解法二

思路

展开

用补事件：超过一种缺陷的鞋位于三个交集区域中。

答题过程

展开 P(at most one type of defect)= 1−2+3+5120= 110120= 1112.\begin{align*} P(\text{at most one type of defect}) =&\,1-\frac{2+3+5}{120}\\ =&\,\frac{110}{120}\\ =&\,\frac{11}{12}. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

已知至多一种 defect。若还要有 defective stitching，只能落在只属于 AA 的区域。

答题过程

展开 P(A∣at most one defect)= 9120110120= 9110.\begin{align*} P(A\mid \text{at most one defect}) =&\,\frac{\frac{9}{120}}{\frac{110}{120}}\\ =&\,\frac{9}{110}. \end{align*}

(f)

解法一

思路

展开

先按发生的 defect 数量分组：X=0,1,2,3X=0,1,2,3，再求期望。

答题过程

展开

From the Venn diagram,

x0123P(X=x)931201712081202120\begin{array}{c|cccc} x&0&1&2&3\\ \hline P(X=x)&\frac{93}{120}&\frac{17}{120}&\frac{8}{120}&\frac{2}{120} \end{array}

Therefore

E⁡(X)= 0⋅93120+1⋅17120+2⋅8120+3⋅2120= 39120= 1340.\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,0\cdot\frac{93}{120} +1\cdot\frac{17}{120} +2\cdot\frac{8}{120} +3\cdot\frac{2}{120}\\ =&\,\frac{39}{120}\\ =&\,\frac{13}{40}. \end{align*}

解法二

思路

展开

令 IA,IB,ICI_A,I_B,I_C 分别表示三类缺陷是否发生，则 X=IA+IB+ICX=I_A+I_B+I_C。利用期望的线性性质直接相加三个事件的概率。

答题过程

展开

Let IA,IB,ICI_A,I_B,I_C be the indicator variables for A,B,CA,B,C. Then

X= IA+IB+IC,E⁡(X)= P(A)+P(B)+P(C).\begin{align*} X=&\,I_A+I_B+I_C,\\ \operatorname{E}(X)=&\,P(A)+P(B)+P(C). \end{align*}

From the Venn diagram,

n(A)+n(B)+n(C)= 39.\begin{align*} n(A)+n(B)+n(C)=&\,39. \end{align*}

Therefore

E⁡(X)= 39120= 1340.\begin{align*} \operatorname{E}(X)=&\,\frac{39}{120}\\ =&\,\frac{13}{40}. \end{align*}