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IAL 2022 Jan Q4

A Level / Edexcel / S1

IAL 2022 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

The random variable WW has a discrete uniform distribution where

P(W=w)=15P(W=w)=\frac{1}{5}

for w=1,2,3,4,5w=1,2,3,4,5

(a) Find P(2⩽W<3.5)P(2\leqslant W<3.5)

(1)

The discrete random variable X=5−2WX=5-2W

(b) Find E⁡(X)\operatorname{E}(X)

(3)

(c) Find P(X<W)P(X<W)

(2)

The discrete random variable Y=1WY=\dfrac{1}{W}

(d) Find

(i) the probability distribution of YY

(ii) Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y), showing your working.

(5)

(e) Find Var⁡(2−3Y)\operatorname{Var}(2-3Y)

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

2⩽W<3.52\leqslant W<3.5 包含 W=2W=2 和 W=3W=3。

答题过程

展开 P(2⩽W<3.5)=25.\begin{align*} P(2\leqslant W<3.5)=\frac{2}{5}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先用离散均匀分布的对称性得 E⁡(W)=3\operatorname{E}(W)=3，再做线性变换。

答题过程

展开 E⁡(W)=3.\begin{align*} \operatorname{E}(W)=3. \end{align*}

Since X=5−2WX=5-2W,

E⁡(X)= 5−2E⁡(W)= 5−2(3)= −1.\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,5-2\operatorname{E}(W)\\[3mm] =&\,5-2(3)\\[3mm] =&\,-1. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

把 X=5−2WX=5-2W 代入 X<WX<W，判断哪些 WW 符合。

答题过程

展开 X<W5−2W<W5<3WW>53.\begin{align*} X&<W\\[3mm] 5-2W&<W\\[3mm] 5&<3W\\[3mm] W&>\frac{5}{3}. \end{align*}

Since W=1,2,3,4,5W=1,2,3,4,5,

P(X<W)=P(W⩾2)=45.\begin{align*} P(X<W)=P(W\geqslant2)=\frac{4}{5}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

Y=1WY=\dfrac{1}{W}，所以可能取 1,12,13,14,151,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\dfrac15，每个概率仍是 15\dfrac15。然后用方差公式。

答题过程

展开

The probability distribution of YY is

y112131415P(Y=y)1515151515\begin{array}{c|ccccc} y&1&\frac12&\frac13&\frac14&\frac15\\ \hline P(Y=y)&\frac15&\frac15&\frac15&\frac15&\frac15 \end{array}

Now

E⁡(Y)= 15(1+12+13+14+15)= 137300.\begin{align*} \operatorname{E}(Y) =&\,\frac15\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)\\[3mm] =&\,\frac{137}{300}. \end{align*}

Also,

E⁡(Y2)= 15(1+14+19+116+125)= 526918000.\begin{align*} \operatorname{E}(Y^2) =&\,\frac15\left(1+\frac14+\frac19+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}\right)\\[3mm] =&\,\frac{5269}{18000}. \end{align*}

Therefore

Var⁡(Y)= 526918000−(137300)2= 94711250= 0.0842…\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\frac{5269}{18000}-\left(\frac{137}{300}\right)^2\\[3mm] =&\,\frac{947}{11250}\\[3mm] =&\,0.0842\ldots \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

常数平移不影响 variance，乘以 −3-3 会使 variance 乘以 99。

答题过程

展开 Var⁡(2−3Y)= (−3)2Var⁡(Y)= 9⋅94711250= 9471250= 0.758…\begin{align*} \operatorname{Var}(2-3Y) =&\,(-3)^2\operatorname{Var}(Y)\\[3mm] =&\,9\cdot\frac{947}{11250}\\[3mm] =&\,\frac{947}{1250}\\[3mm] =&\,0.758\ldots \end{align*}