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S1 2022 June Q4

A Level / Edexcel / S1

IAL 2022 June Paper · Question 4

题目

Problem

The events HH and WW are such that

P(H)=38P(H∪W)=34P(H)=\frac{3}{8}\qquad P(H\cup W)=\frac{3}{4}

Given that HH and WW are independent,

(a) show that P(W)=35P(W)=\dfrac{3}{5}

(4)

The event NN is such that

P(N)=115P(H∩N)=P(N)P(N)=\frac{1}{15}\qquad P(H\cap N)=P(N)

(b) Find P(N′∣H)P(N'\mid H)

(2)

Given that WW and NN are mutually exclusive,

(c) draw a Venn diagram to represent the events HH, WW and NN giving the exact probabilities of each region in the Venn diagram.

(5)
题目中文翻译

事件 HH 和 WW 满足

P(H)=38P(H∪W)=34.P(H)=\frac{3}{8}\qquad P(H\cup W)=\frac{3}{4}.

已知 HH 和 WW 相互独立。

(a) 证明 P(W)=35P(W)=\dfrac{3}{5}。

事件 NN 满足

P(N)=115P(H∩N)=P(N).P(N)=\frac{1}{15}\qquad P(H\cap N)=P(N).

(b) 求 P(N′∣H)P(N'\mid H)。

已知 WW 和 NN 互斥。

(c) 画一个表示事件 HH、WW 和 NN 的维恩图，并在图中标出每个区域的精确概率。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用加法公式，并利用 independent 得 P(H∩W)=P(H)P(W)P(H\cap W)=P(H)P(W)。

答题过程

展开 P(H∪W)=P(H)+P(W)−P(H∩W).\begin{align*} P(H\cup W)=P(H)+P(W)-P(H\cap W). \end{align*}

Since HH and WW are independent,

P(H∩W)=P(H)P(W)=38P(W).\begin{align*} P(H\cap W)=P(H)P(W)=\frac{3}{8}P(W). \end{align*}

Therefore

34= 38+P(W)−38P(W)38= 58P(W)P(W)= 35.\begin{align*} \frac{3}{4} =&\,\frac{3}{8}+P(W)-\frac{3}{8}P(W)\\ \frac{3}{8} =&\,\frac{5}{8}P(W)\\ P(W)=&\,\frac{3}{5}. \end{align*}

解法二

思路

展开

先由并集求 P(H′∩W)P(H'\cap W)。由于 HH 与 WW 独立，H′H' 与 WW 也独立，因此可建立另一条关于 P(W)P(W) 的方程。

答题过程

展开 P(H′∩W)= P(H∪W)−P(H)= 34−38= 38.\begin{align*} P(H'\cap W) =&\,P(H\cup W)-P(H)\\ =&\,\frac{3}{4}-\frac{3}{8}\\ =&\,\frac{3}{8}. \end{align*}

Since H′H' and WW are independent,

P(H′∩W)= P(H′)P(W)= 58P(W).\begin{align*} P(H'\cap W) =&\,P(H')P(W)\\ =&\,\frac{5}{8}P(W). \end{align*}

Thus

38= 58P(W),P(W)= 35.\begin{align*} \frac{3}{8}=&\,\frac{5}{8}P(W),\\ P(W)=&\,\frac{3}{5}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

P(H∩N)=P(N)P(H\cap N)=P(N) 表示 NN 完全在 HH 内。因此 P(N′∩H)=P(H)−P(N)P(N'\cap H)=P(H)-P(N)。

答题过程

展开 P(N′∣H)= P(N′∩H)P(H)= P(H)−P(N)P(H)= 38−11538= 3745.\begin{align*} P(N'\mid H) =&\,\frac{P(N'\cap H)}{P(H)}\\ =&\,\frac{P(H)-P(N)}{P(H)}\\ =&\,\frac{\frac{3}{8}-\frac{1}{15}}{\frac{3}{8}}\\ =&\,\frac{37}{45}. \end{align*}

解法二

思路

展开

先求 P(N∣H)P(N\mid H)，再用条件概率下的补事件。

答题过程

展开

Since P(H∩N)=P(N)P(H\cap N)=P(N),

P(N∣H)= P(H∩N)P(H)= 11538= 845.\begin{align*} P(N\mid H) =&\,\frac{P(H\cap N)}{P(H)}\\ =&\,\frac{\frac{1}{15}}{\frac{3}{8}}\\ =&\,\frac{8}{45}. \end{align*}

Therefore

P(N′∣H)= 1−P(N∣H)= 1−845= 3745.\begin{align*} P(N'\mid H) =&\,1-P(N\mid H)\\ =&\,1-\frac{8}{45}\\ =&\,\frac{37}{45}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先求 H∩W=38⋅35=940H\cap W=\dfrac38\cdot\dfrac35=\dfrac{9}{40}。又因为 NN 在 HH 内且 WW 与 NN 互斥，所以 NN 放在 HH 中但不与 WW 重叠。

答题过程

展开

We have

P(H∩W)=38⋅35=940.\begin{align*} P(H\cap W)=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{40}. \end{align*}

Since P(H∩N)=P(N)P(H\cap N)=P(N),

N⊂H.\begin{align*} N\subset H. \end{align*}

Also,

P(N)=115.\begin{align*} P(N)=\frac{1}{15}. \end{align*}

The HH only region is

38−940−115=112.\frac{3}{8}-\frac{9}{40}-\frac{1}{15} =\frac{1}{12}.

The WW only region is

35−940=38.\frac{3}{5}-\frac{9}{40} =\frac{3}{8}.

The outside region is

1−(112+115+940+38)= 14.\begin{align*} 1&-\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{15} +\frac{9}{40}+\frac{3}{8}\right)\\ =&\,\frac{1}{4}. \end{align*}

So the regions are

H only=112,N=115,H∩W=940,W only=38,outside=14,\begin{gathered} H\text{ only}=\frac{1}{12},\quad N=\frac{1}{15},\quad H\cap W=\frac{9}{40},\\ W\text{ only}=\frac{3}{8},\quad \text{outside}=\frac{1}{4}, \end{gathered}

with W∩N=0W\cap N=0.