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S1 2022 Oct Q1

A Level / Edexcel / S1

IAL 2022 Oct Paper · Question 1

题目

Problem

The stem lengths of a sample of 120120 tulips are recorded in the grouped frequency table below.

Stem length (cm)Frequency40⩽x<421242⩽x<451845⩽x<502350⩽x<553555⩽x<582458⩽x<608\begin{array}{c|c} \text{Stem length (cm)}&\text{Frequency}\\ \hline 40\leqslant x<42&12\\ 42\leqslant x<45&18\\ 45\leqslant x<50&23\\ 50\leqslant x<55&35\\ 55\leqslant x<58&24\\ 58\leqslant x<60&8 \end{array}

A histogram is drawn to represent these data. The area of the bar representing the 40⩽x<4240\leqslant x<42 class is 16.5 cm216.5\text{ cm}^2

(a) Calculate the exact area of the bar representing the 42⩽x<4542\leqslant x<45 class.

(2)

The height of the tallest bar in the histogram is 1010 cm.

(b) Find the exact height of the second tallest bar.

(3)

Q1Q_1 for these data is 4545 cm.

(c) Use linear interpolation to find an estimate for

(i) Q2Q_2

(ii) the interquartile range.

(4)

One measure of skewness is given by

Q3−2Q2+Q1Q3−Q1\frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1}

(d) By calculating this measure, describe the skewness of these data.

(2)
题目中文翻译

一个由 120120 株郁金香组成的样本，其茎长记录在题目给出的分组频数表中。

现用直方图表示这些数据。代表 40⩽x<4240\leqslant x<42 这一组的长条面积为 16.5 cm216.5\text{ cm}^2。

(a) 求代表 42⩽x<4542\leqslant x<45 这一组的长条的准确面积。

直方图中最高长条的高度为 1010 cm。

(b) 求第二高长条的准确高度。

已知这些数据的 Q1Q_1 为 4545 cm。

(c) 使用线性插值估计：(i) Q2Q_2；(ii) 四分位距。

一种偏度度量为

Q3−2Q2+Q1Q3−Q1.\frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1}.

(d) 计算这一度量，并描述这些数据的偏度。

解答

(a)

解法一

思路

展开

同一张 histogram 中，bar area 与 frequency 成正比。已知 1212 个对应面积 16.516.5，所以 1818 个对应面积按比例放大。

答题过程

展开 area= 16.5⋅1812= 24.75.\begin{align*} \text{area} =&\,16.5\cdot\frac{18}{12}\\ =&\,24.75. \end{align*}

The exact area is

24.75 cm2.\begin{align*} 24.75\text{ cm}^2. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

最高的 bar 由最大 frequency density 决定。先比较 frequency density：5555-5858 组是 24/3=824/3=8，5050-5555 组是 35/5=735/5=7，所以第二高的 bar 对应 5050-5555 组。

答题过程

展开

The tallest bar has frequency density

243=8.\begin{align*} \frac{24}{3}=8. \end{align*}

The second tallest bar has frequency density

355=7.\begin{align*} \frac{35}{5}=7. \end{align*}

Since the tallest bar has height 1010 cm, the second tallest bar has height

10⋅78=8.75 cm.\begin{align*} 10\cdot\frac{7}{8}=8.75\text{ cm}. \end{align*}

解法二

思路

展开

先由频数比例求两根候选长条的面积，再用 height=area/class width\text{height}=\text{area}/\text{class width} 比较并换算高度。

答题过程

展开

The bar areas for the classes 55⩽x<5855\leqslant x<58 and 50⩽x<5550\leqslant x<55 are

A55−58= 16.512(24)=33,A50−55= 16.512(35)=48.125.\begin{align*} A_{55-58}=&\,\frac{16.5}{12}(24)=33,\\ A_{50-55}=&\,\frac{16.5}{12}(35)=48.125. \end{align*}

Their heights are therefore proportional to

333=11and48.1255=9.625.\frac{33}{3}=11 \qquad\text{and}\qquad \frac{48.125}{5}=9.625.

Hence the second tallest bar has height

10(9.62511)=8.75 cm.10\bigg(\frac{9.625}{11}\bigg)=8.75\text{ cm}.

(c)(i)

解法一

思路

展开

Q2Q_2 是第 6060 个数据。累计到 5050 是 5353，累计到 5555 是 8888，所以中位数在 5050-5555 组内。

答题过程

展开 Q2= 50+60−5335(55−50)= 51.\begin{align*} Q_2 =&\,50+\frac{60-53}{35}(55-50)\\ =&\,51. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以从中位数组的上界 5555 反向插值。该组中位数位置以上还有 88−60=2888-60=28 个数据。

答题过程

展开 Q2= 55−88−6035(55−50)= 51.\begin{align*} Q_2 =&\,55-\frac{88-60}{35}(55-50)\\ =&\,51. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

Q3Q_3 是第 9090 个数据。累计到 5555 是 8888，所以 Q3Q_3 在 5555-5858 组内。题目已给 Q1=45Q_1=45。

答题过程

展开 Q3= 55+90−8824(58−55)= 55.25.\begin{align*} Q_3 =&\,55+\frac{90-88}{24}(58-55)\\ =&\,55.25. \end{align*}

Therefore

IQR⁡=55.25−45=10.25.\begin{align*} \operatorname{IQR}=55.25-45=10.25. \end{align*}

解法二

思路

展开

从 Q3Q_3 所在组的上界 5858 反向插值；在第 9090 个数据之后，该组还剩 112−90=22112-90=22 个数据。

答题过程

展开 Q3= 58−112−9024(58−55)= 55.25.\begin{align*} Q_3 =&\,58-\frac{112-90}{24}(58-55)\\ =&\,55.25. \end{align*}

Therefore

IQR⁡=55.25−45=10.25.\operatorname{IQR}=55.25-45=10.25.

(d)

解法一

思路

展开

把 Q1=45Q_1=45、Q2=51Q_2=51、Q3=55.25Q_3=55.25 代入 skewness 公式。结果为负表示 negative skew。

答题过程

展开 Q3−2Q2+Q1Q3−Q1= 55.25−2(51)+4555.25−45= −0.1707…\begin{align*} \frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1} =&\,\frac{55.25-2(51)+45}{55.25-45}\\ =&\,-0.1707\ldots \end{align*}

Since the value is negative, the data are negatively skewed.