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S1 2022 Oct Q7

A Level / Edexcel / S1

IAL 2022 Oct Paper · Question 7

题目

Problem

Adana selects one number at random from the distribution of XX which has the following probability distribution.

x0510P(X=x)0.10.20.7\begin{array}{c|ccc} x&0&5&10\\ \hline P(X=x)&0.1&0.2&0.7 \end{array}

(a) Given that the number selected by Adana is not 55, write down the probability it is 00

(1)

(b) Show that E⁡(X2)=75\operatorname{E}(X^2)=75

(1)

(c) Find Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)

(3)

(d) Find Var⁡(4−3X)\operatorname{Var}(4-3X)

(2)

Bruno and Charlie each independently select one number at random from the distribution of XX

(e) Find the probability that the number Bruno selects is greater than the number Charlie selects.

(3)

Devika multiplies Bruno’s number by Charlie’s number to obtain a product, DD

(f) Determine the probability distribution of DD

(4)
题目中文翻译

Adana 从随机变量 XX 的分布中随机抽取一个数；题目给出了 XX 的概率分布。

(a) 已知 Adana 抽到的数不是 55，写出该数为 00 的概率。

(b) 证明 E⁡(X2)=75\operatorname{E}(X^2)=75。

(c) 求 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)。

(d) 求 Var⁡(4−3X)\operatorname{Var}(4-3X)。

Bruno 和 Charlie 各自独立地从 XX 的分布中随机抽取一个数。

(e) 求 Bruno 抽到的数大于 Charlie 抽到的数的概率。

Devika 将 Bruno 抽到的数与 Charlie 抽到的数相乘，所得乘积记为 DD。

(f) 确定 DD 的概率分布。

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知不是 55，剩下可能是 00 或 1010。条件概率分母是 P(X≠5)P(X\ne5)。

答题过程

展开 P(X=0∣X≠5)=0.10.1+0.7=18.\begin{align*} P(X=0\mid X\ne5)=\frac{0.1}{0.1+0.7}=\frac{1}{8}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用 E⁡(X2)=∑x2P(X=x)\operatorname{E}(X^2)=\sum x^2P(X=x)。

答题过程

展开 E⁡(X2)= 02(0.1)+52(0.2)+102(0.7)= 0+5+70= 75.\begin{align*} \operatorname{E}(X^2) =&\,0^2(0.1)+5^2(0.2)+10^2(0.7)\\ =&\,0+5+70\\ =&\,75. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先求 E⁡(X)\operatorname{E}(X)，再用 Var⁡(X)=E⁡(X2)−[E⁡(X)]2\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-[\operatorname{E}(X)]^2。

答题过程

展开 E⁡(X)= 0(0.1)+5(0.2)+10(0.7)= 8.\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,0(0.1)+5(0.2)+10(0.7)\\ =&\,8. \end{align*}

Therefore

Var⁡(X)= 75−82= 11.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,75-8^2\\ =&\,11. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

加减常数不影响 variance；乘以 −3-3 会使 variance 乘以 (−3)2=9(-3)^2=9。

答题过程

展开 Var⁡(4−3X)= (−3)2Var⁡(X)= 9(11)= 99.\begin{align*} \operatorname{Var}(4-3X) =&\,(-3)^2\operatorname{Var}(X)\\ =&\,9(11)\\ =&\,99. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

Bruno 的数比 Charlie 大，有 (5,0)(5,0)、(10,0)(10,0)、(10,5)(10,5) 三种组合。

答题过程

展开 P(B>C)= P(5,0)+P(10,0)+P(10,5)= 0.2(0.1)+0.7(0.1)+0.7(0.2)= 0.02+0.07+0.14= 0.23.\begin{align*} P(B>C) =&\,P(5,0)+P(10,0)+P(10,5)\\ =&\,0.2(0.1)+0.7(0.1)+0.7(0.2)\\ =&\,0.02+0.07+0.14\\ =&\,0.23. \end{align*}

解法二

思路

展开

Bruno 与 Charlie 独立且使用相同分布，所以一人较大的概率与另一人较大的概率相同。先扣除两人取相同数的情形，再把剩余概率除以 22。

答题过程

展开 P(B=C)= 0.12+0.22+0.72= 0.54.\begin{align*} P(B=C) =&\,0.1^2+0.2^2+0.7^2\\ =&\,0.54. \end{align*}

By symmetry,

P(B>C)= 12(1−P(B=C))= 12(1−0.54)= 0.23.\begin{align*} P(B>C) =&\,\frac12\big(1-P(B=C)\big)\\ =&\,\frac12(1-0.54)\\ =&\,0.23. \end{align*}

(f)

解法一

思路

展开

列出两人数字相乘的可能结果：0,25,50,1000,25,50,100。因为两人独立，组合概率相乘；若有两种顺序，要把两种顺序相加。

答题过程

展开

The possible values of DD are

0, 25, 50, 100.\begin{align*} 0,\ 25,\ 50,\ 100. \end{align*}

Now

P(D=0)=1−P(B≠0, C≠0)=1−(0.9)(0.9)=0.19.\begin{align*} P(D=0)=1-P(B\ne0,\ C\ne0)=1-(0.9)(0.9)=0.19. \end{align*}

Also,

P(D=25)=0.2(0.2)=0.04.\begin{align*} P(D=25)=0.2(0.2)=0.04. \end{align*}

For D=50D=50, the outcomes are (5,10)(5,10) and (10,5)(10,5), so

P(D=50)=2(0.2)(0.7)=0.28.\begin{align*} P(D=50)=2(0.2)(0.7)=0.28. \end{align*}

Finally,

P(D=100)=0.7(0.7)=0.49.\begin{align*} P(D=100)=0.7(0.7)=0.49. \end{align*}

Thus the probability distribution of DD is

d02550100P(D=d)0.190.040.280.49\begin{array}{c|cccc} d&0&25&50&100\\ \hline P(D=d)&0.19&0.04&0.28&0.49 \end{array}

解法二

思路

展开

直接列出所有至少有一人抽到 00 的互斥组合，求得 P(D=0)P(D=0)；其余三个乘积照常由独立性计算。

答题过程

展开

The possible values of DD are 00, 2525, 5050 and 100100. Directly summing the disjoint cases that give D=0D=0,

P(D=0)= 0.12+2(0.1)(0.2)+2(0.1)(0.7)= 0.19.\begin{align*} P(D=0) =&\,0.1^2+2(0.1)(0.2)+2(0.1)(0.7)\\ =&\,0.19. \end{align*}

The remaining probabilities are

P(D=25)= 0.22=0.04,P(D=50)= 2(0.2)(0.7)=0.28,P(D=100)= 0.72=0.49.\begin{align*} P(D=25)=&\,0.2^2=0.04,\\ P(D=50)=&\,2(0.2)(0.7)=0.28,\\ P(D=100)=&\,0.7^2=0.49. \end{align*}

Thus

d02550100P(D=d)0.190.040.280.49\begin{array}{c|cccc} d&0&25&50&100\\ \hline P(D=d)&0.19&0.04&0.28&0.49 \end{array}