直方图中 frequency = frequency density $\times$ class width。由图读出最后两组频数。

The completed frequencies are

少于 $16$ 分钟包括前两整组，再加上 $14$ 到 $16$ 这一半的 $14$-$18$ 组。

直观比例计算法。 前两个区间 $5-10$ 和 $10-14$ 分别包含 $10$ 和 $16$ 人。 对于区间 $14-18$，其宽度为 $18 - 14 = 4$ 分钟，该区间内总共有 $24$ 人。 目标值 $16$ 分钟将该区间平分为两半（因为 $16 - 14 = 2$ 分钟，占该区间的 $\frac{2}{4} = 50\%$）。 基于直方图内数据均匀分布的假设，小于 $16$ 分钟的人数在该区间内有：

最后将三部分人数加起来：

这种方法利用比例与分率的直观意义，避开了公式中的多重除法，有利于手算。

The number of people who took less than $16$ minutes is composed of:

• All people in the interval $[5, 10]$: $10$
• All people in the interval $[10, 14]$: $16$
• A proportion of people in the interval $[14, 18]$.

The width of the interval $[14, 18]$ is:

The target range within this interval is $[14, 16]$, which has a width of:

The proportion of people in this range is:

Thus, the number of people in this range is:

Summing all three parts:

用 grouped data midpoint 估计平均数。

Therefore

用公式

So the standard deviation is

to $3$ significant figures.

$Q_1$ 是第 $25$ 个数据。累计到 $10$ 分钟是 $10$，累计到 $14$ 分钟是 $26$，所以 $Q_1$ 在 $10$ 到 $14$ 这一组内。

For $Q_1$,

Therefore

直观比例插值法。 下四分位数 $Q_1$ 对应第 $25$ 个值。在区间 $[10, 14]$ 之前累计已有 $10$ 人。 因此 $Q_1$ 是区间 $[10, 14]$ 里的第 $25 - 10 = 15$ 個值。 由于该区间内共有 $16$ 人，且区间宽度为 $14 - 10 = 4$ 分钟。 $Q_1$ 在该区间内行进的比例为：

对应实际分钟数为：

所以 $Q_1$ 的估算值为：

最后代入四分位距公式：

此方法通过将插值运算分解为比例与实际宽度的乘积，有助于学生理解插值法的实际物理背景。

The lower quartile $Q_1$ corresponds to the $25$th value. The cumulative frequency before the class interval $[10, 14]$ is $10$. Therefore, $Q_1$ is the $25 - 10 = 15$th value inside the interval $[10, 14]$ which has a frequency of $16$.

The width of this class interval is:

The proportion of distance $Q_1$ travels into this interval is:

The distance into the interval is:

Thus, the estimated lower quartile is:

Given $Q_3 = 23$: