题目

Problem

The probability distribution of the discrete random variable $X$ is given by

\begin{array}{c|ccc} x&2&3&4\\ \hline P(X=x)&a&0.4&0.6-a \end{array}

where $a$ is a constant.

(a) Find, in terms of $a$ , $\operatorname{E}(X)$

(2)

(b) Find the range of the possible values of $\operatorname{E}(X)$

(3)

Given that $\operatorname{Var}(X)=0.56$

(6)

题目中文翻译

离散随机变量 $X$ 的概率分布如下表所示，其中 $a$ 为常数。

(a) 用 $a$ 表示 $\operatorname{E}(X)$ 。

(b) 求 $\operatorname{E}(X)$ 的所有可能取值范围。

已知 $\operatorname{Var}(X)=0.56$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 $\sum xP(X=x)$ ，然后整理成 $a$ 的一次式。

答题过程

展开

\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,2a+3(0.4)+4(0.6-a)\\ =&\,2a+1.2+2.4-4a\\ =&\,3.6-2a. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

概率必须非负，所以 $0<a<0.6$ 。再代入 $\operatorname{E}(X)=3.6-2a$ 找范围。

答题过程

展开

Since the probabilities must be positive,

\begin{align*} 0<a<0.6. \end{align*}

Using

\begin{align*} \operatorname{E}(X)=3.6-2a, \end{align*}

we get

\begin{align*} 2.4<\operatorname{E}(X)<3.6. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接把概率条件 $0<a<0.6$ 代入期望的不等式并作代数变换。

答题过程

展开

For the probability distribution to be valid,

\begin{align*} 0<a<0.6. \end{align*}

\begin{align*} -1.2<-2a<0. \end{align*}

\begin{align*} 2.4<3.6-2a<3.6. \end{align*}

Hence $2.4<\operatorname{E}(X)<3.6$ .

(c)

解法一

思路

展开

先求 $\operatorname{E}(X^2)$ ，再用 variance 公式列方程。最后检查 $a$ 的值在允许范围内。

答题过程

展开

\begin{align*} \operatorname{E}(X^2) =&\,2^2a+3^2(0.4)+4^2(0.6-a)\\ =&\,4a+3.6+9.6-16a\\ =&\,13.2-12a. \end{align*}

Using $\operatorname{Var}(X)=0.56$ ,

\begin{align*} 0.56=&\,(13.2-12a)-(3.6-2a)^2\\ 0.56=&\,13.2-12a-(12.96-14.4a+4a^2)\\ 0.56=&\,0.24+2.4a-4a^2\\ 4a^2-2.4a+0.32=&\,0. \end{align*}

Multiplying by $25$ gives

\begin{align*} 100a^2-60a+8=0. \end{align*}

\begin{align*} 25a^2-15a+2=0. \end{align*}

Factorising,

\begin{align*} (5a-1)(5a-2)=0. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} a=\frac{1}{5}\quad\text{or}\quad a=\frac{2}{5}. \end{align*}

Both values satisfy $0<a<0.6$ .

S1 2023 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程