题目

Problem

(i) In the Venn diagram below, $A$ and $B$ represent events and $p$ , $q$ , $r$ and $s$ are probabilities.

P(A)=\frac{7}{25}\qquad P(B)=\frac{1}{5}\qquad P\left((A\cap B')\cup(A'\cap B)\right)=\frac{8}{25}

(a) Use algebra to show that $2p+2q+2r=\dfrac{4}{5}$

(4)

(b) Find the value of $p$ , the value of $q$ , the value of $r$ and the value of $s$

(5)

(ii) Two events, $C$ and $D$ , are such that
$P(C)=\frac{x}{x+5}\qquad P(D)=\frac{5}{x}$
where $x$ is a positive constant.

By considering $P(C)+P(D)$ show that $C$ and $D$ cannot be mutually exclusive.

(4)

题目中文翻译

(i) 在题目所示的维恩图中， $A$ 和 $B$ 表示事件， $p$ 、 $q$ 、 $r$ 和 $s$ 均为概率。

(a) 使用代数方法证明 $2p+2q+2r=\dfrac45$ 。

(b) 求 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 和 $s$ 的值。

(ii) 两个事件 $C$ 和 $D$ 满足

P(C)=\frac{x}{x+5},\qquad P(D)=\frac5x,

其中 $x$ 为正常数。

通过考察 $P(C)+P(D)$ ，证明 $C$ 和 $D$ 不可能互斥。

解答

(i)(a)

解法一

思路

展开

从 Venn 图可得 $p+q=P(A)$ ， $q+r=P(B)$ ，而“只在其中一个事件中”是 $p+r$ 。把三式相加就会出现 $2p+2q+2r$ 。

答题过程

展开

From the Venn diagram,

\begin{align*} p+q=\frac{7}{25}. \end{align*}

Also,

\begin{align*} q+r=\frac{1}{5}. \end{align*}

And

\begin{align*} p+r=\frac{8}{25}. \end{align*}

Adding these three equations,

\begin{align*} (p+q)+(q+r)+(p+r) =&\,\frac{7}{25}+\frac{1}{5}+\frac{8}{25}\\ 2p+2q+2r =&\,\frac{7}{25}+\frac{5}{25}+\frac{8}{25}\\ =&\,\frac{20}{25}\\ =&\,\frac{4}{5}. \end{align*}

(i)(b)

解法一

思路

展开

有三条关于 $p,q,r$ 的方程，先由上一小题得到 $p+q+r=\dfrac{2}{5}$ ，再逐个相减。

答题过程

展开

From part (a),

\begin{align*} p+q+r=\frac{2}{5}. \end{align*}

Since

\begin{align*} q+r=\frac{1}{5}, \end{align*}

we have

\begin{align*} p=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}. \end{align*}

Since

\begin{align*} p+r=\frac{8}{25}, \end{align*}

we have

\begin{align*} r=\frac{8}{25}-\frac{1}{5}=\frac{3}{25}. \end{align*}

Then

\begin{align*} q=\frac{1}{5}-\frac{3}{25}=\frac{2}{25}. \end{align*}

Finally,

\begin{align*} s=1-(p+q+r)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}. \end{align*}

(ii)

解法一

思路

展开

如果两个事件互斥，则 $P(C\cup D)=P(C)+P(D)$ ，而联合概率不能超过 $1$ 。所以只要证明 $P(C)+P(D)>1$ ，就可说明它们不可能互斥。

答题过程

展开

Consider

\begin{align*} P(C)+P(D) =&\,\frac{x}{x+5}+\frac{5}{x}\\ =&\,\frac{x^2+5(x+5)}{x(x+5)}\\ =&\,\frac{x^2+5x+25}{x^2+5x}\\ =&\,1+\frac{25}{x^2+5x}. \end{align*}

Since $x>0$ ,

\begin{align*} \frac{25}{x^2+5x}>0. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P(C)+P(D)>1. \end{align*}

If $C$ and $D$ were mutually exclusive, then $P(C\cup D)=P(C)+P(D)>1$ , which is impossible. Hence $C$ and $D$ cannot be mutually exclusive.

解法二

思路

展开

把 $P(D)$ 与 $1-P(C)$ 直接比较。若 $P(D)>1-P(C)$ ，两个事件的概率总和必大于 $1$ 。

答题过程

展开

Since $x>0$ ,

\begin{align*} \frac{5}{x}>\frac{5}{x+5}=1-\frac{x}{x+5}. \end{align*}

Therefore $P(D)>1-P(C)$ , so $P(C)+P(D)>1$ . Hence $C$ and $D$ cannot be mutually exclusive.

S1 2023 Jan Q4

题目

解答

(i)(a)

解法一

思路

答题过程

(i)(b)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程