题目

Problem

A research student is investigating the maximum weight, $y$ grams, of sugar that will dissolve in $100$ grams of water at various temperatures, $x^\circ$ C, where $10\leqslant x\leqslant80$

The research student calculated the regression line of $y$ on $x$ and found it to be

y=151.2+2.72x

(a) Give an interpretation of the gradient of the regression line.

(1)

(b) Use the regression line to estimate the maximum weight of sugar that will dissolve in $100$ grams of water when the temperature is $90^\circ$ C.

(2)

Using the regression line of $y$ on $x$ and the following summary statistics

\sum y=3119\qquad \sum y^2=851093\qquad \sum x^2=24500\qquad n=12

(d) show that the product moment correlation coefficient for these data is $0.988$ to $3$ decimal places.

(7)

The research student’s supervisor plotted the original data on a scatter diagram, shown on page $23$

With reference to both the scatter diagram and the correlation coefficient,

(e) discuss the suitability of a linear regression model to describe the relationship between $x$ and $y$ .

(2)

题目中文翻译

一名研究生正在研究不同温度 $x^\circ$ C 下， $100$ 克水中最多能够溶解的糖的质量 $y$ 克，其中 $10\leqslant x\leqslant80$ 。

该研究生算得 $y$ 对 $x$ 的回归直线为 $y=151.2+2.72x$ 。

(a) 解释这条回归直线斜率的意义。

(b) 使用回归直线估计温度为 $90^\circ$ C 时， $100$ 克水中最多能够溶解的糖的质量。

利用 $y$ 对 $x$ 的回归直线以及题目所给的汇总统计量：

(d) 证明这些数据的积矩相关系数为 $0.988$ （精确到 $3$ 位小数）。

研究生的导师把原始数据绘制成题目所示的散点图。

(e) 同时参考散点图和相关系数，讨论使用线性回归模型描述 $x$ 与 $y$ 之间关系的适用性。

解答

(a)

解法一

思路

展开

斜率 $2.72$ 要解释成温度每增加 $1^\circ$ C，糖的最大溶解质量平均增加多少。

答题过程

展开

For each increase of $1^\circ$ C in temperature, the maximum weight of sugar that dissolves increases by about $2.72$ grams.

(b)

解法一

思路

展开

直接把 $x=90$ 代入回归线。

答题过程

展开

\begin{align*} y =&\,151.2+2.72(90)\\ =&\,396. \end{align*}

The estimate is

\begin{align*} 396\text{ grams}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

原始数据的温度范围是 $10\leqslant x\leqslant80$ ，而 $90^\circ$ C 在范围外，所以这是 extrapolation。

答题过程

展开

The estimate is unreliable because $90^\circ$ C is outside the range of the data, $10\leqslant x\leqslant80$ .

(d)

解法一

思路

展开

先用回归线和 $\sum y$ 求 $\sum x$ 。再求 $S_{yy}$ 、 $S_{xx}$ 。因为 $y$ on $x$ 的斜率是 $2.72$ ，所以 $S_{xy}=2.72S_{xx}$ 。

答题过程

展开

From

\begin{align*} y=151.2+2.72x, \end{align*}

we have

\begin{align*} \bar{y}=151.2+2.72\bar{x}. \end{align*}

Now

\begin{align*} \bar{y}=\frac{3119}{12}. \end{align*}

\begin{align*} \bar{x} =&\,\frac{\frac{3119}{12}-151.2}{2.72}\\ =&\,39.969\ldots \end{align*}

Thus

\begin{align*} \sum x=12(39.969\ldots)=479.632\ldots \end{align*}

Also,

\begin{align*} S_{yy} =&\,851093-\frac{3119^2}{12}\\ =&\,40412.916\ldots \end{align*}

and

\begin{align*} S_{xx} =&\,24500-\frac{(479.632\ldots)^2}{12}\\ =&\,5329.400\ldots \end{align*}

Since the gradient of the regression line of $y$ on $x$ is

\begin{align*} \frac{S_{xy}}{S_{xx}}=2.72, \end{align*}

we get

\begin{align*} S_{xy}=2.72(5329.400\ldots)=14495.969\ldots \end{align*}

Therefore

\begin{align*} r =&\,\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\\ =&\,\frac{14495.969\ldots} {\sqrt{5329.400\ldots(40412.916\ldots)}}\\ =&\,0.988\ldots \end{align*}

So the product moment correlation coefficient is $0.988$ to $3$ decimal places.

解法二

思路

展开

由回归斜率 $b=2.72=r\sqrt{S_{yy}/S_{xx}}$ ，可直接求 $r$ 。

答题过程

展开

Using the values of $S_{xx}$ and $S_{yy}$ found above,

\begin{align*} r =&\,2.72\sqrt{\frac{S_{xx}}{S_{yy}}}\\ =&\,2.72\sqrt{\frac{5329.400\ldots}{40412.916\ldots}}\\ =&\,0.988\ldots \end{align*}

Therefore $r=0.988$ to $3$ decimal places.

(e)

解法一

思路

展开

需要同时提到 scatter diagram 和 correlation coefficient。图上点接近一条直线，而且 $r$ 接近 $1$ ，说明线性模型合适。

答题过程

展开

The scatter diagram shows that the points lie reasonably close to a straight line. Also, the product moment correlation coefficient is close to $1$ .

Therefore a linear regression model is suitable for describing the relationship between $x$ and $y$ .

S1 2023 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程