题目

Problem

A discrete random variable $Y$ has probability function

P(Y=y)= \begin{cases} k(3-y),&y=1,2,\\ k(y^2-8),&y=3,4,5,\\ k,&y=6,\\ 0,&\text{otherwise,} \end{cases}

where $k$ is a constant.

(a) Show that $k=\dfrac{1}{30}$

(2)

Find the exact value of

(b) $P(1<Y\leqslant4)$

(2)

The random variable $X=15-2Y$

(d) Calculate $P(Y\geqslant X)$

(3)

(e) Calculate $\operatorname{Var}(X)$

(4)

题目中文翻译

离散随机变量 $Y$ 的概率函数如题目所示，其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $k=\dfrac1{30}$ 。

求下列各式的准确值：

(b) $P(1<Y\leqslant4)$ ；

随机变量 $X=15-2Y$ 。

(d) 计算 $P(Y\geqslant X)$ 。

(e) 计算 $\operatorname{Var}(X)$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $y=1$ 到 $6$ 的概率全部写成 $k$ 的倍数，总和必须为 $1$ 。

答题过程

展开

The probabilities are

\begin{align*} 2k,\ k,\ k,\ 8k,\ 17k,\ k. \end{align*}

Since the total probability is $1$ ,

\begin{align*} 2k+k+k+8k+17k+k=&\,1\\ 30k=&\,1\\ k=&\,\frac{1}{30}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$1<Y\leqslant4$ 表示 $Y=2,3,4$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} P(1<Y\leqslant4) =&\,P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)\\ =&\,k+k+8k\\ =&\,10k\\ =&\,\frac{10}{30}\\ =&\,\frac{1}{3}. \end{align*}

解法二

思路

展开

改用补事件，排除 $Y=1,5,6$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} P(1<Y\leqslant4) =&\,1-P(Y=1)-P(Y=5)-P(Y=6)\\ =&\,1-2k-17k-k\\ =&\,1-20\left(\frac1{30}\right)\\ =&\,\frac13. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

期望用 $\sum yP(Y=y)$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} \operatorname{E}(Y) =&\,1(2k)+2(k)+3(k)\\ &\,\hspace{2pt}+4(8k)+5(17k)+6(k)\\ =&\,130k\\ =&\,\frac{130}{30}\\ =&\,\frac{13}{3}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

把 $X=15-2Y$ 代入不等式 $Y\geqslant X$ ，先判断哪些 $Y$ 值符合。

答题过程

展开

\begin{align*} Y&\geqslant X\\ Y&\geqslant 15-2Y\\ 3Y&\geqslant 15\\ Y&\geqslant5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P(Y\geqslant X) =&\,P(Y=5)+P(Y=6)\\ =&\,17k+k\\ =&\,18k\\ =&\,\frac{18}{30}\\ =&\,\frac{3}{5}. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

先求 $\operatorname{Var}(Y)$ ，再用 $X=15-2Y$ 得

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=(-2)^2\operatorname{Var}(Y)=4\operatorname{Var}(Y). \end{align*}

答题过程

展开

First,

\begin{align*} \operatorname{E}(Y^2) =&\,1^2(2k)+2^2(k)+3^2(k)\\ &\,\hspace{2pt}+4^2(8k)+5^2(17k)+6^2(k)\\ =&\,604k\\ =&\,\frac{302}{15}. \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\operatorname{E}(Y^2)-[\operatorname{E}(Y)]^2\\ =&\,\frac{302}{15}-\left(\frac{13}{3}\right)^2\\ =&\,\frac{61}{45}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,4\operatorname{Var}(Y)\\ =&\,4\cdot\frac{61}{45}\\ =&\,\frac{244}{45}. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接列出 $X=15-2Y$ 的概率分布，再由 $\operatorname{E}(X^2)-[\operatorname{E}(X)]^2$ 求方差。

答题过程

展开

With $k=\frac1{30}$ , the probability distribution of $X$ is

$y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x$	$13$	$11$	$9$	$7$	$5$	$3$
$P(X=x)$	$2k$	$k$	$k$	$8k$	$17k$	$k$

\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,13(2k)+11(k)+9(k)\\ &\,\hspace{2pt}+7(8k)+5(17k)+3(k)\\ =&\,190k=\frac{19}{3}. \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{E}(X^2) =&\,13^2(2k)+11^2(k)+9^2(k)\\ &\,\hspace{2pt}+7^2(8k)+5^2(17k)+3^2(k)\\ =&\,1366k=\frac{683}{15}. \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,\frac{683}{15}-\left(\frac{19}{3}\right)^2\\ =&\,\frac{244}{45}. \end{align*}

S1 2023 June Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程